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C A P I T O L O 4
Conduttori. Dielettrici. Energia elettrostatica
La (4.41), nota come
legge di Gauss per l’induzione dielettrica
afferma che
il flusso dell’induzione dielettrica attraverso una superficie chiusa è uguale
alla somma delle cariche libere contenute all’interno della superficie stessa.
Introducendo (4.37) nella (4.40) abbiamo:
D
=
ε
0
E
+
ε
0
(
κ
– 1)
E
=
ε
0
κ
E
=
ε
E
.
(4.42)
In particolare, all’interno della lastra dielettrica inserita in un condensatore piano
dove il campo elettrostatico è dato da (4.24) si ha:
D
=
σ
u
n
.
Il valore di
D
coincide con quello della densità di carica libera.
Con lo stesso procedimento applicato nel paragrafo 3.4 si ottiene la
forma locale
di (4.41):
—
·
D
=
ρ
.
(4.43)
La
divergenza del vettore induzione dielettrica è eguale alla densità di carica libera
; in as-
senza di cariche libere
—
·
D
= 0.
Le relazioni trovate, anche se ricavate per dielettrici lineari, hanno validità ge-
nerale.
U
NITÀ DI MISURA
La
polarizzazione
e l’
induzione dielettrica
hanno la stessa unità di misura, che è
quella della densità superficiale di carica,
C/m
2
(coulomb/m
2
).
La costante dielettrica relativa e la suscettività elettrica sono adimensionali. Invece la
costante dielettrica assoluta ha le dimensioni di
ε
0
, che si possono ricavare da
E
=
σ
/
ε
0
e
risultano farad/m, F/m, unità corrispondente, ma più usata, di C
2
/Nm
2
, indicata nella
(1.6), come già osservato nel paragrafo 4.3.
Una sfera conduttrice di raggio
R
, avente carica
q
, è all’in-
terno di un dielettrico indefinito di costante dielettrica relativa
κ
. Determinare le espressioni in funzione di
r
dei vettori
D
,
E
,
P
e il valore della carica di polarizzazione
q
p
sulla superficie del
dielettrico a contatto con la sfera.
Soluzione
La legge di Gauss per il vettore
D
(4.41), applicata
ad una superficie sferica di raggio
r
>
R
, dà
q
4
π
r
2
D
=
q
→
D
(
r
) = –––––
u
r
.
4
π
r
2
Da questa tramite (4.42) si ricava il campo elettrostatico
nel dielettrico:
D
q
E
(
r
) = –– = ––––––––
u
r
.
ε
4
π ε
0
κ
r
2
Rispetto al caso in cui la sfera sia nel vuoto (
κ
= 1), c’è una
diminuzione di un fattore
κ
.
Il vettore
P
si ottiene applicando (4.37):
κ
– 1
q
P
(
r
) =
ε
0
(
κ
– 1)
E
= ––––– –––––
u
r
.
κ
4
π
r
2
In particolare, per
r
=
R
, ovvero sulla superficie del dielet-
trico a contatto con la sfera, dove c’è la carica di polarizzazione
di segno opposto a
q
,
E
SEMPIO
4.14
Sfera conduttrice in un dielettrico indefinito e omogeneo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
R
r
κ
u
n
u
n
u
r
Figura 4.47
Legge di Gauss per
D