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IEPILOGO
I materiali
conduttori
in equilibrio elettrostatico hanno le
seguenti proprietà:
• il campo elettrostatico all’interno del conduttore è nullo:
E
int
= 0 ;
• il potenziale elettrostatico del conduttore è costante; in
particolare la superficie del conduttore è una superficie
equipotenziale;
• in un conduttore carico la carica si dispone sulla superfi-
cie esterna del conduttore con densità superficiale
σ
, che
in ogni punto dipende dalla forma del conduttore;
• sulla superficie di un conduttore il campo elettrostatico è
dato dal
teorema di Coulomb
:
σ
E
= ––
u
n
,
(4.1)
ε
0
con
u
n
versore normale alle superficie del conduttore.
Un
condensatore
è un sistema di due conduttori tra i
quali c’è
induzione completa
. I due conduttori costituiscono le
armature del condensatore
. Il rapporto tra il valore assoluto della
carica
q
presente su ciascuna delle armature e la differenza di
potenziale tra le armature
V
si chiama
capacità del condensa-
tore
:
q
C
= –– .
(4.6)
V
La capacità di un condensatore dipende dalla geometria
del sistema e dal mezzo interposto.
Nel SI l’unità di misura della capacità è coulomb/volt,
detta
farad
(F): F = C/V.
La
costante dielettrica assoluta del vuoto
si esprime anche
con
ε
0
= 8.86 pF/m.
La
capacità
di un
condensatore sferico vuoto
, con l’arma-
tura interna di raggio
R
1
e l’armatura esterna di raggio
R
2
, è:
R
1
R
2
C
= 4
πε
0
––––––– .
(4.5)
R
2
–
R
1
La
capacità
di un
condensatore piano vuoto
, armature di
area
Σ
distanti
h
è:
ε
0
Σ
C
= –––– .
(4.8)
h
La
capacità per unità di lunghezza
di un
condensatore ci-
lindrico vuoto
, con l’armatura interna di raggio
R
1
e l’arma-
tura esterna di raggio
R
2
, è:
2
πε
0
C
d
= ––––– .
(4.11)
R
2
ln ––
R
1
La
capacità equivalente
di un sistema di
condensatori
C
1
,
C
2
,
C
3
… collegati
in parallelo
è:
C
eq
=
C
1
+
C
2
+
C
3
+ …
C
n
(4.14)
La
capacità equivalente
di un sistema di
condensatori
C
1
,
C
2
,
C
3
, … collegati
in serie
è:
1 1 1 1
1
––– = –– + –– + –– + … ––
(4.16)
C
eq
C
1
C
2
C
3
C
n
L’
energia elettrostatica di un condensatore
carico è:
q
2
1
1
U
e
= ––– = ––
CV
2
= ––
qV
.
(4.17)
2
C
2
2
Si può rappresentare l’energia elettrostatica correlandola
al campo elettrostatico
E
; definendo la
densità di energia
elettrostatica
(J/m
3
):
1
u
e
= ––
ε
0
E
2
,
(4.18)
2
in un volumetto
d
τ
nell’intorno di un punto
P
in cui il campo
elettrostatico vale
E
è contenuta una quantità d’energia elet-
trostatica
dU
e
=
u
e
d
τ
, per cui l’energia elettrostatica risulta:
1
U
e
=
∫
τ
––
ε
0
E
2
d
τ
,
(4.19)
2
dove l’integrale è esteso alla regione in cui il campo elettro-
statico è diverso da zero.
Le (4.18) e (4.19) hanno validità generale e sono usate in
particolare quando i campi elettrici sono prodotti da sistemi
complessi non descrivibili come un insieme di cariche oppor-
tunamente posizionate.
Quando tra le armature del condensatore viene inserito
un
materiale dielettrico
(
isolante
) la sua
capacità
diventa:
C
κ
=
κ
C
0
,
(4.29)
con
C
0
la capacità del condensatore vuoto, precedentemente
definita e
κ
una costante adimensionale maggiore di 1 carat-
teristica del materiale detta
costante dielettrica relativa
.
A parità di carica
q
presente sulle armature l’aumento
della capacità è dovuta alla diminuzione del campo elettro-
statico e della differenza di potenziale tra le armature:
E
0
V
0
E
κ
= ––
V
κ
= –– ,
(4.24)
κ
κ
se
E
0
e
V
0
sono rispettivamente il
campo elettrostatico
e la
diffe-
renza di potenziale nel vuoto
.
La diminuzione del campo elettrostatico è dovuta a mec-
canismi di polarizzazione del materiale dielettrico, che com-
portano la presenza di una
carica di polarizzazione
q
P
sulle su-
perficie del dielettrico a contatto (o meno) delle armature
pari a:
κ
– 1
q
P
= ––––––
q
(4.28)
κ
con
q
carica presente sulle armature.
Riepilogo
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