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4.8 Equazioni generali dell’elettrostatica in presenza di dielettrici
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sempre tale da causare attrazione, figura 4.45; la forza
F
attrattiva è data dalla
∂
E
(
r
)
(2.52)
F
=
p
––––– , se
r
è la distanza.
∂
r
Nella maggior parte dei dielettrici risulta che
P
è proporzionale a
E
e tale rela-
zione si scrive
P
=
ε
0
(
κ
– 1)
E
=
ε
0
χ
E
.
(4.37)
Per il dielettrico a forma di lastra uniformemente polarizzato è facile verificare la
(4.37) facendo ricorso a (4.36), (4.27), (4.24).
I
dielettrici
che obbediscono a (4.37) si chiamano
lineari
; essi sono materiali
amorfi, caratterizzati da
isotropia spaziale
(vedi paragrafo 4.6, Tabella 4.1).
Esistono mezzi anisotropi, come i cristalli, nei quali il parallelismo tra
P
e
E
è
mantenuto solo lungo alcune direzioni che coincidono con gli
assi cristallografici
.
EQUAZIONI GENERALI DELL’ELETTROSTATICA
IN PRESENZA DI DIELETTRICI
Avendo verificato la realtà fisica delle cariche di polarizzazione che vengono in-
dotte da un campo elettrostatico
E
possiamo scrivere la
legge di Gauss
(3.6), fa-
cendo apparire esplicitamente tali cariche:
q
+
q
p
Φ
(
E
) =
E
·
u
n
d
Σ
= –––––– .
(4.38)
ε
0
Il flusso del campo elettrostatico attraverso una superficie chiusa è uguale alla
somma di
tutte le cariche presenti all’interno
, sia libere (
q
) che di polarizzazione (
q
p
).
Se consideriamo la scatola cilindrica della figura 4.46, avente area di base
Σ
, la
carica contenuta all’interno è quella positiva sull’armatura e quella negativa di po-
larizzazione sulla faccia della lastra; quest’ultima vale
q
p
= –
σ
p
Σ
= –
P
Σ
. D’altra
parte, essendo
P
= 0 all’interno dell’armatura conduttrice, è anche vero che per
l’intera superficie chiusa cilindrica
P
·
u
n
d
Σ
=
P
Σ
.
Pertanto la (4.38) diventa
1
Φ
(
E
) =
E
·
u
n
d
Σ
= ––
q
–
P
·
u
n
d
Σ
ε
0
ovvero
(
ε
0
E
+
P
) ·
u
n
d
Σ
=
q
,
(4.39)
relazione che ha validità del tutto generale.
Dalla (4.39) si può definire il vettore
D
, detto
induzione dielettrica
,
D
=
ε
0
E
+
P
,
(4.40)
per cui:
Φ
(
D
) =
D
·
u
n
d
Σ
=
q
(4.41)
4.8
+ + + + +
_ _ _ _ _
+ +
_ _
+ + + + +
_ _ _ _ _
+ +
_ _
u
n
Σ
P E
κ
Figura 4.46
Applicazione della legge di Gauss
per la definizione del vettore
in-
duzione dielettrica
D
.
Dielettrici lineari
Induzione dielettrica