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Abbiamo già visto che la capacità di un condensatore sfe-
rico è
R
1
R
2
C
= 4
π ε
0
–––––––– .
(4.5)
R
2
–
R
1
Se si fa tendere
R
2
→
•
si ottiene
C
= 4
π ε
0
R
1
(4.7)
che può essere definita come
capacità di un conduttore sferico iso-
lato
. Si può in generale definire
un conduttore isolato come un con-
densatore con un’armatura posta all’infinito
. Se il conduttore ha
una carica +
q
, la carica –
q
si forma per induzione all’infinito, di-
stribuita su una superficie infinita e perciò con densità nulla.
In tal senso la presenza della seconda armatura ha come ri-
sultato l’aumento della capacità del sistema, che va attribuito
all’aumento dell’influenza tra le due armature.
Possiamo vedere quantitativamente tale effetto così: se la
distanza tra le due armature sferiche diventa piccola rispetto ai
raggi, cioè se
h
=
R
2
–
R
1
<<
R
1
R
2
=
R
,
la capacità del condensatore si scrive
R
2
ε
0
Σ
C
= 4
π ε
0
–– = ––––
(4.8)
h
h
con
Σ
= 4
π
R
2
area delle armature. La capacità cresce all’au-
mentare di
Σ
e al diminuire di
h
.
Per fissare un ordine di grandezza, se
Σ
= 1 m
2
e
h
= 1 mm,
la capacità del condensatore sferico (
R
= 0.282 m) è
8.85 · 10
–12
· 1
C
1
= –––––––––––– = 8.85 · 10
–9
F = 8.85 nF .
10
–3
La capacità di una sfera isolata di raggio
R
= 0.282 m è
C
2
= 4
π ε
0
R
= 3.13 · 10
–11
F = 31.3 pF = 3.5 · 10
–3
C
1
.
E
SEMPIO
4.2
Capacità di un condensatore sferico
Si tratta di una unità di misura molto grande, come vedremo. Nella pratica si usano i sot-
tomultipli:
millifarad
mF = 10
–3
F
microfarad
μ
F = 10
–6
F
nanofarad
nF = 10
–9
F
picofarad
pF = 10
–12
F
In base alla (4.5) la costante dielettrica del vuoto definita da (1.4)
ε
0
= 8.86 · 10
–12
C
2
/
Nm
2
, viene espressa più comunemente come
ε
0
= 8.86 pF/m (C
2
/Nm
2
= F/m).
Le armature di un condensatore cilindrico sono due por-
zioni di superficie cilindriche coassiali, una di raggio
R
1
e l’al-
tra di raggio
R
2
>
R
1
, di eguale lunghezza
d
grande rispetto ai
raggi. Si realizza così un’ulteriore situazione di conduttore
all’interno di un altro conduttore cavo, con induzione appros-
simativamente completa. Se si escludono i tratti estremi,
nell’intercapedine cilindrica tra
R
1
e
R
2
il campo elettrostatico
è radiale, secondo (3.18),
λ
E
(
r
) = ––––––
u
r
,
2
π ε
0
r
e la differenza di potenziale tra le armature, esempio 3.19, è
λ
dr
λ
R
2
V
1
–
V
2
=
∫
R
2
R
1
E
·
d
r
= –––––
∫
R
2
R
1
––– = ––––– ln ––– .
2
π ε
0
r
2
π ε
0
R
1
La carica per unità di lunghezza
λ
è pari a
q
/
d
e quindi
q
2
π ε
0
d
C
= ––––––– = –––––– .
(4.9)
V
1
–
V
2
R
2
ln –––
R
1
Se
h
=
R
2
–
R
1
è molto minore dei raggi, sviluppiamo in se-
rie il denominatore arrestandoci al primo termine,
R
2
R
2
–
R
1
R
2
–
R
1
h
ln ––– = ln 1 + ––––––– = ––––––– = ––– ,
R
1
R
1
R
1
R
per cui la capacità diventa
2
π ε
0
d R
ε
0
Σ
C
= –––––––– = –––– ,
(4.10)
h
h
E
SEMPIO
4.3
Capacità di un condensatore cilindrico
4.3 Condensatori
77