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C A P I T O L O 4
Conduttori. Dielettrici. Energia elettrostatica
Riprendendo i condensatori dell’esempio 4.6 calcolare
l’energia elettrostatica prima e dopo il collegamento inparallelo.
Soluzione
Le energie elettrostatiche iniziale e finale sono
1
1
1
U
e
, in
= ––
q
1
V
1
+ ––
q
2
V
2
,
U
e
, fin
= –– (
q
1
+
q
2
)
V
2
2
2
per cui la variazione di energia elettrostatica vale
1
1
Δ
U
e
=
U
e
, fin
–
U
e
, in
= ––
q
1
(
V
–
V
1
) + ––
q
2
(
V
–
V
2
) .
2
2
Ricorriamo all’espressione del potenziale finale trovata
nell’esempio 4.6 e troviamo
1
V
1
–
V
2
Δ
U
e
= –– ––––––– (
q
2
C
1
–
q
1
C
2
) .
2
C
1
+
C
2
Siccome
q
1
q
2
q
1
C
2
–
q
2
C
1
V
1
–
V
2
= ––– – ––– = –––––––––––
C
1
C
2
C
1
C
2
si ha infine
1
C
1
C
2
Δ
U
e
= – –– ––––––– (
V
1
–
V
2
)
2
.
2
C
1
+
C
2
L’energia elettrostatica finale è minore di quella iniziale;
evidentemente lo spostamento delle cariche richiede un la-
voro e l’energia elettrostatica diminuisce.
E
SEMPIO
4.9
Energia elettrostatica di due condensatori in parallelo
condensatore vale
E
=
q
/4
π ε
0
r
2
; il volume della corteccia sfe-
rica infinitesima compresa tra il raggio
r
e il raggio
r
+
dr
è
d
τ
=
Σ
dr
= 4
π
r
2
dr
e pertanto
1
q
q
2
dr
U
e
=
∫
R
2
R
1
––
ε
0
––––––
2
4
π
r
2
dr
= ––––
∫
R
2
R
1
–––
2 4
π ε
0
r
2
8
π ε
0
r
2
q
2
1 1
U
e
= –––– –– – –– .
(4.20)
8
π ε
0
R
1
R
2
Ricordando che la capacità di un condensatore sferico è
data da (4.5), vediamo che (4.20) è pari a
q
2
/2
C
: quindi (4.19)
e (4.17) portano allo stesso risultato.
Se facciamo tendere
R
2
→
•
, in modo da realizzare un con-
duttore sferico di raggio
R
1
dalla (4.20) otteniamo
q
2
1
q
2
U
e
= ––––––– = –– ––
8
π ε
0
R
1
2
C
con
C
= 4
π ε
0
R
1
, come dato dalla (4.7).
r
d
τ
= 4
π
r
2
dr
E
R
1
R
2
Calcolare la forza tra due armature di un condensatore
piano, di area
Σ
distanti
h
, carico con una carica
q
, e il rapporto
F
/
Σ
, detto
pressione elettrostatica
.
Soluzione
L’energia elettrostatica di un condensatore piano
con armature di area
Σ
distanti
h
è:
q
2
q
2
U
e
= ––– = –––––
h
.
2
C
2
ε
0
Σ
E
SEMPIO
4.10
La pressione elettrostatica
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
d
h
+
q
–
q
F
x
Figura 4.29
Figura 4.30