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8.5 Urti tra punti materiali e corpi rigidi o tra corpi rigidi
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tazione. Ovviamente non si conservano quantità di moto e
energia.
Assumendo come polo il centro del disco abbiamo
1
I
w
= (
I
+
m
2
d
2
)
w
9
,
I
= ––
m
1
R
2
2
m
1
R
2
w
9
= –––––––––––––––
w
;
2
m
1
R
2
+ 2
m
2
d
2
la rotazione prosegue in verso antiorario anche dopo l’urto.
L’impulso delle reazioni vincolari si calcola tramite la va-
riazione della quantità di moto del sistema e quindi del punto
di massa
m
2
, avendo il disco sempre quantità di moto nulla.
Esso ha due componenti, una verticale diretta verso l’alto do-
vuta all’arresto di
m
2
, una orizzontale diretta verso il lettore do-
vuta all’inizio della rotazione di
m
2
; in modulo
J
z
=
m
2
v
2, in
=
m
2
cvvv
2
gh
,
J
or
=
m
2
v
2, fin
=
m
2
w
9
d
.
L’impulso angolare delle reazioni vincolari è eguale alla va-
riazione della componente del momento angolare ortogonale
all’asse di rotazione (abbiamo detto che la componente paral-
lela si conserva) e quindi al
D
L
^
della massa
m
2
:
∫
M
dt
= (
L
^
)
fin
– (
L
^
)
in
= –
OP
¥
m
2
v
2, in
,
essendo
OP
il raggio vettore dal centro del disco al punto di im-
patto. Inmodulo l’impulso angolare vale
m
2
d
v
2, in
=
m
2
d
cvvv
2
gh
.
Un’asta, di massa
m
1
e lunghezza
l
, è libera di ruotare in un
piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il
suo centro. Inizialmente l’asta è in quiete in posizione oriz-
zontale. Un punto materiale, di massa
m
2
, colpisce con velocità
v
, ortogonale all’asta in direzione verticale, l’estremo dell’asta,
figura 8.19. Assumendo che l’urto sia elastico e che la velocità
v
9
del punto materiale dopo l’urto sia parallela a
v
, determi-
nare nell’istante successivo all’urto la velocità angolare
w
dell’asta e il modulo e il verso di
v
9
.
Soluzione
Data la presenza di una forza vincolare in
O
non
è possibile conservare la quantità di moto; possiamo però con-
servare rispetto ad
O
il momento angolare e, dato che l’urto è
elastico, possiamo utilizzare la conservazione dell’energia. Per-
tanto, assumendo
v
9
positiva se ha il verso indicato in figura,
l
l
l
2
m
2
v
–– =
I
w
–
m
2
v
9
–– ,
I
=
m
1
–– ;
2
2
12
1
1
1
––
m
2
v
2
= ––
I
w
2
+ ––
m
2
v
9
2
.
2
2
2
Risolvendo il sistema si trova
12
m
2
v
m
1
– 3
m
2
w
= –––––––– –– ,
v
9
= ––––––––
v
.
m
1
+ 3
m
2
l
m
1
+ 3
m
2
Il punto materiale prosegue il suo moto nello stesso verso
se 3
m
2
>
m
1
(
v
9
< 0), rimbalza se 3
m
2
<
m
1
(
v
9
> 0), si ferma
nell’istante dell’urto se 3
m
2
=
m
1
(
v
9
= 0).
E
SEMPIO
8.13
Un punto materiale cade su un’asta
m
2
v
l
prima dell’urto elastico
m
2
v
9
dopo l’urto elastico
Figura 8.19
Un disco, di massa
m
e raggio
R
, scivola con velocità
v
su un
piano orizzontale liscio. Esso urta un altro disco identico, ini-
zialmente in quiete e con il centro a distanza
R
dalla retta per-
corsa dal centro del primo disco, vedi figura 8.20. Dopo l’urto
i due dischi restano attaccati e procedono come un unico
corpo rigido. Determinare che velocità angolare deve avere il
primo disco affinché dopo l’urto la velocità angolare del si-
stema sia nulla.
E
SEMPIO
8.14
Due dischi si scontrano