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8.5 Urti tra punti materiali e corpi rigidi o tra corpi rigidi
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la quantità di moto totale. Se invece esiste un vincolo che tiene fermo un punto del
corpo rigido, e quindi sviluppa una forza esterna di tipo impulsivo durante l’urto,
non si verifica la conservazione della quantità di moto. Infine, qualora rispetto a
un certo polo, fisso in un sistema di riferimento inerziale o coincidente con il cen-
tro di massa, il momento delle forze esterne, comprese quelle vincolari, è nullo, si
conserva il momento angolare rispetto a tale polo. Se agiscono solo forze interne
L
si conserva sempre, indipendentemente dalla scelta del polo.
Quando il corpo urtato è vincolato, il sistema di vincoli può esplicare durante
l’urto un sistema di forze che ha una risultante
R
e un momento risultante
M
. L’ef-
fetto complessivo, nel brevissimo tempo di durata dell’urto, è dato dall’impulso
della forza
J
=
Ú
R
dt
e dall’impulso angolare
Ú
M
dt
, eguali rispettivamente alla va-
riazione della quantità di moto e alla variazione del momento angolare del si-
stema.
Essendo la quantità di moto e il momento angolare grandezze vettoriali, è pos-
sibile trovare situazioni in cui la loro conservazione è parziale; per esempio,
P
x
e
P
y
si conservano,
P
z
cambia: questo vuol dire che l’impulso ha componenti
J
x
e
J
y
nulle, mentre
J
z
è diversa da zero. Analogamente per
L
e l’impulso angolare.
Un’asta è ferma sopra un piano orizzontale liscio; la massa
è
m
1
, la lunghezza
l
. Un punto materiale, di massa
m
2
e velocità
v
perpendicolare all’asta, colpisce l’asta a distanza
x
dal centro
O
e vi resta attaccato, figura 8.16. Determinare la velocità li-
neare e quella angolare del sistema dopo l’urto.
Soluzione
Durante l’urto, completamente anelastico, agi-
scono solo forze interne e pertanto si ha conservazione della
quantità di moto
P
e del momento angolare
L
.
La conservazione di
P
fornisce la velocità del centro di
massa prima e dopo l’urto. Dopo l’urto coincide con quella
del sistema asta più punto materiale attaccato all’asta:
m
2
m
2
v
= (
m
1
+
m
2
)
v
CM
,
v
CM
= ––––––
v
.
m
1
+
m
2
Determiniamo la posizione del centro di massa rispetto al
centro dell’asta nell’istante in cui avviene l’urto:
m
2
(
m
1
+
m
2
)
x
CM
=
m
2
x
fi
x
CM
= ––––––
x
.
m
1
+
m
2
Prima e dopo l’urto il centro di massa si muove lungo la linea trat-
teggiata in
figura 8.16,
con velocità
v
CM
.
Per quanto riguarda la conservazione di
L
, assumendo
come polo il centro di massa possiamo scrivere
l
2
(
x
–
x
CM
)
m
2
v
=
I
w
,
I
=
m
1
–– +
m
1
x
2
CM
+
m
2
(
x
–
x
CM
)
2
12
e quindi
(
x
–
x
CM
)
m
2
v
m
2
x
v
w
= ––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––– .
l
2
l
2
m
1
–– +
m
1
x
2
CM
+
m
2
(
x
–
x
CM
)
2
(
m
1
+
m
2
) –– +
m
2
x
2
12
12
La rotazione avviene in senso antiorario. Se l’urto avesse
luogo dall’altra parte rispetto al centro dell’asta il verso di ro-
tazione sarebbe orario. Non si ha rotazione solo con un urto al
centro dell’asta (
x
= 0,
w
= 0).
Dopo l’urto il centro di massa continua a muoversi con
moto rettilineo uniforme, mentre gli altri punti hanno un
moto composto da una traslazione con velocità
v
CM
e da una
rotazione, con velocità angolare
w
, rispetto ad un asse verticale
passante per il centro di massa.
x
In particolare, se
m
1
=
m
2
=
m
,
x
CM
= –– ,
2
v
x
v
v
CM
= –– ,
w
= –––––––– .
2
l
2
/6 +
x
2
E
SEMPIO
8.10
Urto completamente anelastico tra un punto materiale e un’asta libera
m
2
v
CM
m
2
x
CM
O
v
CM
w
Figura 8.16