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C A P I T O L O 8
Fenomeni d’urto
Nell’esempio precedente assumiamo che l’asta sia vinco-
lata ad un estremo, attorno al quale può ruotare senza attrito,
figura 8.17. Per semplicità sia
m
1
=
m
2
=
m
; indichiamo con
r
la
distanza del punto d’impatto dall’estremo fisso. Determinare
la velocità angolare
w
del sistema asta più punto materiale
dopo l’urto e l’impulso della reazione vincolare durante
l’urto.
Soluzione
In questo caso non possiamo conservare la quan-
tità di moto del sistema, in quanto durante l’urto agisce una
forza esterna di tipo impulsivo esplicata dal vincolo. È possibile
però conservare il momento angolare rispetto al punto fisso
perché il momento delle forze vincolari è nullo rispetto a tale
polo:
l
2
r
v
r m
v
=
I
w
,
I
=
m
–– +
m r
2
fi w
= ––––––– .
3
l
2
/3 +
r
2
Durante l’urto la quantità di moto del sistema varia per ef-
fetto dell’impulso
J
delle forze vincolari:
J
=
D
P
=
P
fin
–
P
in
.
P
in
=
m
v
mentre
P
fin
può essere calcolata come somma delle
quantità di moto del punto e dell’asta o come quantità di moto
del centro di massa del sistema, nell’istante successivo all’urto.
Nel primo caso:
l
l
P
fin
=
m
w
r
u
v
+
m
w
––
u
v
=
m
1
r
+ ––
2
w
u
v
,
2
2
l
dove
w
r
è la velocità del punto,
w
–– la velocità del centro di
2
massa dell’asta, subito dopo l’urto, e
u
v
è il versore della velo-
cità
v
del punto prima dell’urto. Con la seconda procedura, bi-
sogna prima calcolare la posizione del centro di massa del si-
stema nell’istante dell’urto:
lm
–– +
m r
2
1
l
x
CM
= ––––––––– = ––
1
r
+ ––
2
2
m
2
2
l
e quindi
P
fin
= 2
m
v
CM
= 2
m x
CM
w
u
v
=
m
1
r
+ ––
2
w
u
v
. Solo du-
2
rante l’urto
P
fin
e
P
in
hanno la stessa direzione, dopo
P
cambia
anche di direzione.
Pertanto l’impulso della reazione vincolare è dato da
r
l
–– – ––
l
2 3
J
=
m
3
w
1
r
+ ––
2
–
v
4
u
v
=
m l
v
–––––––
u
v
.
2
l
2
–– +
r
2
3
E
SEMPIO
8.11
Urto completamente anelastico tra un punto materiale ed un’asta vincolata
w
O
r
Figura 8.17
Un disco, di massa
m
1
e raggio
R
, ruota con velocità ango-
lare
w
in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale pas-
sante per il centro. Da un’altezza
h
viene lasciato cadere sul di-
sco un punto materiale di massa
m
2
, figura 8.18. Il punto urta
il disco ad una distanza
d
<
R
dal centro del disco e vi rimane
attaccato. Determinare la velocità angolare del sistema
nell’istante successivo all’urto, l’impulso e l’impulso angolare
delle reazioni vincolari.
Soluzione
Nell’urto si conserva la componente del mo-
mento angolare parallela all’asse di rotazione non essendoci
momenti esterni con questa direzione. Invece il momento an-
golare del punto materiale, ortogonale all’asse di rotazione,
viene annullato nell’urto dal momento esplicato dai supporti
vincolari dell’asse, che impediscono la modifica dell’asse di ro-
E
SEMPIO
8.12
Un punto materiale cade su un disco in rotazione
h
d
R
Figura 8.18