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Abbiamo già detto che in ciascun sistema inerziale le leggi fisiche hanno la
stessa struttura; in particolare sia in
O
che in
O
' vale la (3.27):
E
2
–
c
2
p
2
=
E
2
0
,
E
'
2
–
c
2
p
'
2
=
E
'
2
0
.
Un semplice calcolo sulle (3.28) mostra che
E
'
2
–
c
2
p
'
2
=
E
'
2
–
c
2
(
p
'
2
x
+
p
'
2
y
+
p
'
2
z
) =
E
2
–
c
2
(
p
2
x
+
p
2
y
+
p
2
z
) =
E
2
–
c
2
p
2
,
ovvero l’energia a riposo, e quindi la massa, hanno lo stesso valore nei due sistemi
O
e
O
'. In realtà così abbiamo solo verificato la consistenza del formalismo, perché
nella nostra dimostrazione si è assunto in partenza che la massa fosse la stessa nei
due sistemi (ad esempio quando abbiamo scritto
p
'
x
=
m
g
'
v
'
x
o
E
' =
m
g
'
c
2
). D’altra
parte è anche vero che le (3.28) possono essere provate indipendentemente e che da
esse discende la costanza del valore della massa in qualsiasi sistema inerziale.
Una verifica analoga sulle (3.15) fa vedere che
c
2
t
'
2
–
x
'
2
–
y
'
2
–
z
'
2
=
c
2
t
2
–
x
2
–
y
2
–
z
2
.
Incontriamo, con questa e con la precedente eguaglianza, una proprietà fondamen-
tale delle trasformazioni di Lorentz. Con le quattro variabili oggetto della trasfor-
mazione è possibile costruire una quantità, somigliante al quadrato del modulo di
un vettore, che non cambia operando la trasformazione, cioè passando da
O
ad
O
' e
viceversa. In un caso tale quantità è
c
2
t
2
–
r
2
, nell’altro
E
2
–
c
2
p
2
. Su questa proprietà
ci accontentiamo di richiamare l’attenzione; formalmente essa discende dal fatto
che le coordinate spaziali e il tempo possono essere pensate come le coordinate di
uno speciale spazio quadridimensionale (lo spazio di Minkowski), in cui le trasfor-
mazioni di Lorentz hanno lo stesso ruolo delle rotazioni nello spazio ordinario tri-
dimensionale (sappiamo che le rotazioni conservano la lunghezza dei segmenti,
vedi paragrafo 3.7). L'argomento esula dagli scopi di questo libro; esso costituisce
la base per la costruzione formale della teoria della relatività ristretta, di cui noi
diamo solo qualche nozione.
122
Moti relativi
Esempio 3.11
Nel sistema
O
' un punto è in quiete. Quanto valgono la sua quantità di moto e la sua
energia viste da
O
?
Soluzione
In
O
'
p
'
x
=
p
'
y
=
p
'
z
= 0 ed
E
' =
E
0
=
mc
2
. Dato che
O
' si muove con velocità
v
0
rispetto ad
O
,
secondo la solita geometria, usiamo la trasformazione inversa di (3.28):
v
0
v
0
p
x
=
g
0
(
p
'
x
+ –––
E
'
)
=
g
0
–––
mc
2
=
m
g
v
0
c
2
c
2
p
y
=
p
'
y
= 0
p
z
=
p
'
z
= 0
E
=
g
0
(
E
' +
v
0
p
'
x
) =
m
g
0
c
2
.
Giustamente, il punto rispetto ad
O
si muove con velocità
v
0
parallela all’asse
x
e quin-
di quantità di moto ed energia hanno le espressioni (3.19) e (3.23). Abbiamo in sostanza
verificato nel caso in esame la consistenza della teoria.