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Simultaneità
La nozione che il tempo dipende dal sistema di riferimento, espressa dalla quar-
ta delle (3.15), comporta anche la revisione del concetto di simultaneità. Ad esem-
pio, due eventi che nel sistema
O
' sono localizzati nei punti di coordinate
x
'
1
e
x
'
2
sono definiti simultanei se avvengono nello stesso istante di tempo
t
': i punti sono
in quiete nel sistema
O
' e non ci sono problemi nella misura del tempo. Però
O
asse-
gna ai due eventi i tempi
v
0
v
0
t
1
=
g
0
(
t
' + –––
x
'
1
)
,
t
2
=
g
0
(
t
' + –––
x
'
2
)
,
c
2
c
2
che non sono eguali essendo
x
'
1
≠
x
'
2
. La differenza vale
v
0
D
t
=
t
2
–
t
1
=
g
0
––– (
x
'
2
–
x
'
1
)
c
2
e concludiamo che due eventi localizzati in punti diversi e simultanei nel sistema
O
'
non sono simultanei nel sistema
O
.
Anche per questo caso possiamo legare il risultato all’invarianza di
c
, come
mostriamo nell’esempio seguente. Nel sistema
O
' consideriamo un punto
P
da cui
nello stesso istante vengono inviati due segnali luminosi verso i rivelatori
R
1
e
R
2
,
distanti
d
da
P
; l’arrivo dei segnali ai rivelatori è simultaneo e avviene all’istante
t
'
1
=
t
'
2
=
d/c
. Tutto questo apparato si sposta con velocità
v
0
rispetto al sistema
O
,
nel quale la luce si propaga sempre con velocità
c
; però
R
1
va incontro al segnale
luminoso emesso da
P
e
R
2
se ne allontana, cioè nel sistema
O
la luce che va da
P
a
R
1
percorre uno spazio minore di quella che va da
P
a
R
2
e quindi i tempi non posso-
no essere gli stessi, proprio perché
c
non cambia. In formule
Teoria della relatività. Trasformazioni di Lorentz
117
Esempio 3.10
Il leptone
m
è una particella subnucleare avente vita media
t
= 2.2 · 10
–6
s. Calcolare la
vita media nel laboratorio e la quantità
c
gt
per velocità del
m
pari a 0.5
c
, 0.7
c
, 0.9
c
,
0.99
c
, 0.999
c
.
Soluzione
Per le varie velocità calcoliamo
g
= (1 –
v
2
/
c
2
)
–1/2
e compiliamo la seguente tabella.
Teniamo presente che nel sistema in cui il
m
è a riposo
c
t
= 660 m = 0.66 km.
v
= 0.5
c
g
= 1.16
gt
= 2.55 · 10
–6
s
c
gt
= 0.77 km
0.7
c
1.40
3.08 · 10
–6
s
0.92 km
0.9
c
2.29
5.04 · 10
–6
s
1.51 km
0.99
c
7.09
15.60 · 10
–6
s
4.68 km
0.999
c
22.37
49.21 · 10
–6
s
14.76 km
Vediamo che si tratta di variazioni importanti. L’ultima colonna in particolare ci dà il
riscontro quantitativo del fatto che un
m
prodotto con notevole velocità può coprire
prima di decadere distanze molto maggiori di
c
t
.
Storicamente i leptoni
m
vennero scoperti nel 1937 nella radiazione cosmica; si trovò,
rallentandoli fino a portarli alla quiete, che erano particelle instabili con la vita media
t
= 2.2 · 10
–6
s sopra citata. D’altra parte la loro origine è dovuta al decadimento di altre
particelle instabili prodotte nell’urto di protoni cosmici contro i nuclei degli atomi pre-
senti negli strati alti dell’atmosfera (distanti ben più di
c
t
= 660 m dalla superficie terre-
stre). I leptoni
m
così prodotti hanno notevole velocità; nel sistema del laboratorio la loro
vita è più lunga e così essi possono raggiungere la superficie terrestre ed essere rivelati.
8
g
6
4
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v
/c
Figura 3.21 (Esempio 3.10)