39 / 50
dp
=
m d
(
g
v
) =
m
g
d
v
+
m
v
d
g
,
dp d
v
d
g
d
v
d
g
/
g
––– = ––– + ––– = –––
(
1 + ––––––
)
.
p
v
g
v
d
v/v
Si differenzia poi l’espressione di
g
e si divide per
g
:
v
2
1
1
v
2
v
v
2
d
v
d
g
=
d
(
1 –—
)
–1/2
= ——————
d
(
—
)
= —
g
3
d
v
= —
g
3
— ,
c
2
2
v
2
c
2
c
2
c
2
v
(
1 –—
)
3/2
c
2
d
g
v
2
d
v
––– = –––
g
2
–––– .
g
c
2
v
Mettendo insieme i risultati
dp
v
2
d
v
d
v
––– =
(
1 + –––
g
2
)
––– =
g
2
––– ,
p
c
2
v v
d
v
1
dp
––– = ––– ––– .
(3.21)
v
g
2
p
L’aumento relativo di velocità è 1/
g
2
volte l’aumento relativo di quantità di moto
(causato dall’applicazione di una forza). Dato che
g
cresce notevolmente al tendere
di
v
a
c
, l’aumento relativo di velocità è in effetti molto piccolo. Tutto ciò è in
accordo col fatto che la velocità di un punto materiale non possa crescere indefini-
tamente, bensì tenda alla velocità
c
.
Calcoliamo adesso l’energia cinetica partendo dalla definizione di lavoro e da
(3.20):
d
p
dW
=
F
·
d
s
= ––– ·
d
s
=
d
p
·
v
.
dt
Per la variazione infinitesima della quantità di moto relativistica ci serviamo di
(3.21) nella forma
d
p
=
p
g
2
d
v
/
v
:
d
v
1
dW
=
p
g
2
––– ·
v
=
m
g
3
v
·
d
v
= ––
m
g
3
d
(
v
2
) ,
v
2
dove abbiamo utilizzato il fatto che
d
(
v
·
v
) =
d
(
v
2
) = 2
v
·
d
v
. Quindi
dW
=
m
g
3
v
d
v
e confrontando con l’espressione
d
g
=
v
g
3
d
v
/c
2
trovata sopra concludiamo che
dW
=
mc
2
d
g
=
d
(
mc
2
g
) .
Il lavoro per portare una particella dalla quiete (
v
= 0,
g
= 1) alla velocità
v
è
W
=
mc
2
∫
g
1
d
g
=
mc
2
(
g
– 1)
ed è naturale interpretare questo lavoro come energia cinetica della particella che
ha velocità
v
:
E
k
=
m
(
g
– 1)
c
2
.
(3.22)
Per prima cosa verifichiamo che questa espressione, così diversa da
1
/
2
m
v
2
,
tenda a tale forma per
v
<<
c
. Allo scopo osserviamo che, arrestando lo sviluppo al
prim’ordine, si ha
Quantità di moto ed energia relativistiche
119
Energia cinetica