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Trasformazione di Lorentz per quantità di moto e energia
Le varie relazioni trovate tra energia e quantità di moto riguardano il moto di un
punto materiale osservato in un certo sistema di riferimento inerziale: in questo il
punto di massa
m
ha velocità
v
(dalla quale si può calcolare
g
), quantità di moto
p
ed
energia totale
E
, legate appunto da (3.26) e (3.27). In un diverso sistema inerziale
tutte queste grandezze hanno i valori
v
',
g
',
p
',
E
' e siamo interessati a trovare quale
relazione ci sia tra
p
,
E
e
p
',
E
'. Ammettiamo che, in base al principio di relatività,
E
'
e
p
' siano definiti e legati tra loro come
E
e
p
.
Indichiamo schematicamente uno dei possibili procedimenti:
– si scrive
p
'
x
=
m
g
'
v
'
x
,
p
'
y
=
m
g
'
v
'
y
,
p
'
z
=
m
g
'
v
'
z
;
– per
v
'
x
,
v
'
y
,
v
'
z
si utilizzano le (3.17);
– si scrive
v
x
=
p
x
/
m
g
,
v
y
=
p
y
/
m
g
,
v
z
=
p
z
/
m
g
;
– si sostituiscono
g
e
g
' con
E
/
mc
2
e
E
' /
mc
2
.
Arriviamo così, con un calcolo un po' laborioso, ma facile, alle tre relazioni
v
0
p
x
– –––
E
p
'
x
c
2
p
'
y
p
y
p
'
z
p
z
––– = ––––––––– , ––– = ––––––––––– –––– = ––––––––––– .
E
'
E
–
v
0
p
x
E
'
g
0
(
E
–
v
0
p
x
)
E
'
g
0
(
E
–
v
0
p
x
)
Successivamente nella
E
' =
m
g
'
c
2
, e precisamente in
g
', si sostituisce a
v
'
2
l’espres-
sione ricavata usando sempre le (3.17), di nuovo si scrive
v
x
=
p
x
/
m
g
e si ricava
E
' =
g
0
(
E
–
v
0
p
x
), per cui il risultato finale è
v
0
p
'
x
=
g
0
(
p
x
– –––
E
)
c
2
p
'
y
=
p
y
(3.28)
p
'
z
=
p
z
E
' =
g
0
(
E
–
v
0
p
x
) .
Si nota subito che le (3.28) sono eguali alle (3.15), con
p
x
,
p
y
,
p
z
,
E
/
c
al posto di
x, y,
z, t
:
le componenti della quantità di moto e l’energia si trasformano allo stesso
modo delle coordinate spaziali e del tempo, cioè secondo una trasformazione di
Lorentz
, cosa che non succede a velocità e accelerazione. Anche la trasformazione
inversa di (3.28), che fa passare da
O
' a
O
, si ottiene come visto per (3.17).
Quantità di moto ed energia relativistiche
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Nota. Particelle di massa nulla
Se consideriamo una particella con massa eguale a zero, la relazione (3.27) tra energia
totale e quantità di moto diventa
E
=
pc
.
Sostituendo nella (3.26) si vede che l’eguaglianza comporta
v
=
c
e deduciamo questo
risultato importante:
una particella con massa nulla si muove con la velocità della luce
c
; di conseguenza non esiste un sistema inerziale in cui essa sia a riposo. Sono particel-
le di massa nulla i
fotoni
, cioè i quanti di energia elettromagnetica (discussi nel volume
secondo).