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tivistica. Negli acceleratori circolari, in cui le particelle descrivono orbite composte
da archi di circonferenza, la forza centripeta è ottenuta per mezzo di un opportuno
campo magnetico (forza di Lorentz, capitolo 7 del secondo volume) e il calcolo del
suo valore si fa appunto servendosi della formula relativistica. Un altro fatto interes-
sante verificato è che la dilatazione
gt
della vita media di una particella instabile in
moto con velocità
v
si ha pure se il moto avviene lungo una circonferenza.
Passiamo adesso ad un moto rettilineo, con forza, velocità, accelerazione paral-
lele alla direzione del moto. Supponiamo che la forza agente sia costante e che ini-
zialmente il punto sia in quiete. Per calcolare
d
g
/dt
nella (3.29) utilizziamo
l’espressione di
d
g
che abbiamo ricavato per arrivare alla (3.21), ovvero
d
g
v
d
v
––– = –––
g
3
––– ;
dt c
2
dt
l’equazione del moto è quindi
d
v
v
2
d
v
d
v
v
2
d
v
F
=
m
g
––– +
m
–––
g
3
––– =
m
g
–––
(
1 + –––
g
2
)
=
m
g
3
––– =
m
g
3
a
.
dt
c
2
dt
dt
c
2
dt
Notiamo subito che il moto non è uniformemente accelerato:
g
varia nel tempo e
a
non può essere costante, dato che
m
g
3
a
è costante. Calcoliamo la velocità in questo
modo:
F
––
dt
=
g
3
d
v
=
d
(
g
v
) ,
m
dove l’ultimo passaggio segue da
v
2
d
(
g
v
) =
g
d
v
+
v
d
g
=
g
d
v
+ –––
g
3
d
v
=
g
3
d
v
.
c
2
Si integra e si ottiene
F
v
F
c
g
v
= ––
t
, –––––––––– = ––
t
,
v
= ––––––––––– .
m
v
2
m
m
2
c
2
1 – –––
1 +
–––––
c
2
F
2
t
2
La velocità non cresce linearmente col tempo e tende asintomaticamente a
c
. Solo
fino a quando è soddisfatta la condizione
m
2
c
2
m
2
c
2
––––– >> 1
⇒
t
2
<< –––––
F
2
t
2
F
2
si può descrivere
v
=
Ft/m
, come nella meccanica newtoniana. All’opposto, per
velocità prossima a
c
, cioè quando
m
2
c
2
m
2
c
2
––––– << 1
⇒
t
2
>> ––––– ,
F
2
t
2
F
2
ci possiamo servire dell’approssimazione 1/ 1 +
x
= 1 –
x
e abbiamo
m
2
c
2
v
=
c
1 – ––––– ,
F
2
t
2
Quantità di moto ed energia relativistiche
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