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Forza
La legge del moto nella meccanica relativistica, come nella meccanica newto-
niana, è la (3.20),
F
=
d
p
/
dt
. Questa espressione è valida in qualsiasi sistema iner-
ziale, nel senso che in
O
e in
O
' la legge del moto è, rispettivamente
d
p
d
p
'
F
= ––– ,
F
' = ––– .
dt dt
'
In generale
d
p
/
dt
e
d
p
/
dt
' sono diverse e quindi
due osservatori inerziali misurano
forze diverse
: questa è una differenza sostanziale rispetto alla relatività galileiana.
Dalle leggi di trasformazione già ricavate potremmo risalire a quella valida per
le componenti della forza e troveremmo espressioni che non sono trasformazioni di
Lorentz, come è successo per la velocità e l’accelerazione. Non esplicitiamo però
questo calcolo perché non ci servirà per il seguito dell’esposizione.
Vogliamo invece dimostrare come da
F
=
d
p
/
dt
non si possa dedurre
F
=
m
a
.
Allo scopo sviluppiamo (3.20), inserendo l’espressione relativistica (3.19) della
quantità di moto; in questa la massa è costante, però
g
varia al variare del modulo
della velocità e pertanto la forza è eguale alla somma di due termini,
d
p
d
v
d
g
F
= ––– =
m
g
––– +
m
v
––– ,
(3.29)
dt
dt
dt
il primo parallelo all’accelerazione
a
=
d
v
/
dt
e il secondo parallelo a
v
; poiché
v
e
a
non sono di norma parallele, non sussiste più il parallelismo tra
F
e
a
.
Questo è il caso più generale. Limitiamoci ora a due casi particolari, in cui per
costruzione
F
e
a
sono parallele e verifichiamo che non si ha comunque
F
=
m
a
.
Per primo consideriamo un moto circolare uniforme. La velocità cambia solo di
direzione,
d
g
/dt
= 0 anche se
g
può avere un valore elevato (se
v
è vicina a
c
), e la
(3.29) si riduce a
v
2
p
v
F
=
m
g
a
,
F
=
m
g
a
N
=
m
g
––– = ––– ,
R R
essendo
R
il raggio della circonferenza. La dipendenza della forza centripeta
F
da
g
v
2
invece che solo da
v
2
come vorrebbe la meccanica newtoniana è stata verificata
sin dagli inizi di questo secolo, confermando la correttezza della formulazione rela-
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Moti relativi
v
0
1 – –––
c
n
' =
n
––––––––––
v
2
0
1 – –––
c
2
e mostra come varia la frequenza con la velocità relativa dei due sistemi. Il fenomeno si
chiama
effetto Doppler
(paragrafo 13.11 del secondo volume). Un’applicazione notissi-
ma è la seguente. Supponiamo di misurare sulla terra le frequenze di un tipo di luce e di
essere in grado di riconoscere quel tipo di luce quando ci giunge da una galassia; trovia-
mo però che le frequenze sono sistematicamente diverse da quelle misurate sulla terra e
dalla differenza determiniamo la velocità della galassia rispetto alla terra. Misure di que-
sto tipo hanno messo in evidenza una diminuzione di frequenza (il cosiddetto sposta-
mento verso il rosso), segno che le galassie si allontanano da noi, e accreditano l’ipote-
si dell’universo in espansione.