40 / 50
1
x
––––––– = 1 + ––
(
x
<< 1)
1 –
x
2
1
v
2
⇒
g
= –––––––––– = 1 + –––––
(
v
2
<<
c
2
)
v
2
2
c
2
1 – –––
c
2
e quindi
v
2
1
E
k
(
v
<<
c
) =
m
(
1 + –––– – 1
)
c
2
= ––
m
v
2
.
2
c
2
2
In secondo luogo notiamo la particolare struttura di (3.22): l’energia cinetica,
cioè la forma di energia legata esclusivamente al moto del punto, appare come dif-
ferenza tra i valori
m
g
c
2
e
mc
2
, il primo variabile con la velocità e il secondo costan-
te, proporzionale alla massa del punto. Ponendo
E
=
m
g
c
2
,
E
0
=
mc
2
,
(3.23)
la (3.22) si scrive
E
=
E
k
+
E
0
.
(3.24)
Il termine
E
viene chiamato
energia totale
del punto materiale alla velocità
v
e il
termine
E
0
energia a riposo
(in quanto eguale ad
E
quando
E
k
= 0) ovvero energia di
massa del punto materiale, proprio perché proporzionale a
m
. Queste modifiche al
concetto di energia, con l’introduzione dell’energia legata all’esistenza della massa
e dell’energia totale, somma di energia cinetica e di energia di massa, sono tra i
risultati più importanti della meccanica relativistica.
Notiamo che dal rapporto tra le due formule (3.23) si ha
E
g
= ––– .
(3.25)
E
0
Rispetto alla definizione cinematica
g
= (1 –
v
2
/
c
2
)
–1/2
, la (3.25) mostra il ruolo dina-
mico di
g
, rapporto tra energia totale ed energia di massa.
Per mezzo della (3.19) possiamo collegare quantità di moto ed energia totale:
c
2
c
2
E
=
m
g
c
2
=
m
g
v
––– =
p
––– .
v v
In forma vettoriale
E
p
= –––
v
.
(3.26)
c
2
Infine, sempre sfruttando le stesse relazioni si ottiene
v
2
E
2
–
p
2
c
2
=
m
2
g
2
c
4
–
m
2
g
2
v
2
c
2
=
m
2
c
4
g
2
(
1 – –––
)
=
m
2
c
4
c
2
⇒
E
2
=
p
2
c
2
+
m
2
c
4
=
p
2
c
2
+
E
2
0
,
E
=
p
2
c
2
+
m
2
c
4
=
p
2
c
2
+
E
2
0
,
(3.27)
relazione fondamentale tra energia totale, quantità di moto ed energia a riposo.
120
Moti relativi
Energia totale