35 / 50
misuri, nello stesso istante di tempo
t
, le coordinate
x
1
e
x
2
degli estremi della sbar-
retta. Secondo (3.15)
x
'
1
=
g
0
(
x
1
–
v
0
t
) ,
x
'
2
=
g
0
(
x
2
–
v
0
t
) ,
L
'
v
2
0
L
' =
x
'
2
–
x
'
1
=
g
0
(
x
2
–
x
1
) =
g
0
L
,
L
= ––– = 1 – –––
L
' :
g
0
c
2
la lunghezza
L
misurata da
O
della sbarretta in movimento rispetto ad
O
risulta
minore della lunghezza
L
' misurata da
O
', rispetto a cui la sbarretta è in quiete. La
sbarretta appare contratta lungo la direzione del moto e l’effetto si chiama
contra-
zione delle lunghezze
.
Notiamo che se la sbarretta è in quiete in
O
e in moto rispetto a
O
' abbiamo dalle
(3.17)
x
1
=
g
0
(
x
'
1
+
v
0
t
') ,
x
2
=
g
0
(
x
'
2
+
v
0
t
') ,
L
v
2
0
x
2
–
x
1
=
g
0
(
x
'
2
–
x
'
1
) ,
L
' = ––– = 1 – –––
L
:
g
0
c
2
l’effetto è lo stesso,
la misura fatta nel sistema rispetto a cui la sbarretta è in moto
è minore della misura fatta nel sistema in cui la sbarretta è in quiete.
Quest’ultima
misura si chiama
lunghezza propria
della sbarretta.
La contrazione relativistica non si ha se la sbarretta è disposta lungo l’asse
y
o
l’asse
z
, ortogonali alla direzione del moto (dato che
y
=
y
' e
z
=
z
').
Consideriamo adesso un fenomeno che nel sistema
O
' avviene nella posizione
di coordinata
x
' e dura un tempo
D
t
' =
t
'
2
–
t
'
1
; nel sistema
O
si ha
v
0
v
0
t
1
=
g
0
(
t
'
1
+ –––
x
'
)
,
t
2
=
g
0
(
t
'
2
+ –––
x
'
)
,
c
2
c
2
D
t
'
D
t
=
t
2
–
t
1
=
g
0
D
t
' = –––––––––– :
v
2
0
1 – –––
c
2
l’intervallo di tempo in
O
, rispetto a cui
O
' si muove, appare più lungo, il fenomeno
per
O
dura di più. Di nuovo l’effetto è lo stesso se il fenomeno avviene in
O
, dove
dura
D
t
, e si calcola cosa misura
O
': si trova
D
t
' =
g
0
D
t
. Nella situazione descritta
il
tempo misurato da un sistema in movimento è sempre maggiore del tempo proprio,
misurato in quiete
. Si parla in questo caso di
dilatazione dei tempi
.
La dilatazione dei tempi segue in modo naturale dalla trasformazione di
Lorentz. Vogliamo far vedere come la si possa ricavare direttamente dal fatto che la
velocità della luce ha lo stesso valore
c
in sistemi inerziali diversi. Il fenomeno che
si considera è l’emissione di un segnale luminoso dall’origine del sistema
O
; tale
segnale si propaga lungo l’asse
y
fino a distanza
d
, qui viene riflesso da uno spec-
chio e torna in
O
: il tempo di andata è
d/c
e il tempo totale per tornare in
O
è 2
d/c
.
Osserviamo il fenomeno dal sistema
O
' in moto con velocità
v
0
; ricordando quanto
calcolato nell’esempio 3.8, si ha la situazione mostrata nella figura 3.20 (suppo-
nendo che nell’istante in cui viene emesso il segnale
O
e
O
' coincidano). La
distanza
d
' misurata in
O
' e la distanza
d
misurata in
O
sono legate dalla relazione
d
=
d
' sen
q
=
d
'
/
g
0
, dove abbiamo usato (in modulo) la relazione ricavata nell’esem-
pio 3.8. La velocità della luce è
c
in entrambi i sistemi e il tempo impiegato dalla
Teoria della relatività. Trasformazioni di Lorentz
115