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e quindi nel sistema
O
', in moto con velocità
v
0
rispetto a
O
, si misura la stessa velo-
cità
c
, qualunque sia il valore di
v
0
.
Abbiamo così verificato che
le trasformazioni di Lorentz garantiscono la
costanza del valore c in qualsiasi sistema inerziale
. È solo la direzione del raggio
luminoso che appare diversa in ciascun sistema.
Come secondo esempio consideriamo il moto di punti materiali con velocità
prossima a quella della luce.
La conclusione raggiunta nell’esempio 3.9 può essere estesa nel modo seguen-
112
Moti relativi
Esempio 3.8
Nel sistema
O
si osserva un raggio luminoso che si propaga lungo l’asse
y
con velocità
c
; determinare cosa si osserva nel sistema
O
' che si sposta rispetto ad
O
con velocità
v
0
.
Soluzione
Applichiamo le relazioni (3.16) con
v
x
=
v
z
= 0,
v
y
=
c
:
c
v
x
' = –
v
0
,
v
y
' = ––– ,
v
z
' = 0 .
g
0
Pertanto nel sistema
O
' la luce ha velocità
c
v
2
0
v
x
'
2
+
v
y
'
2
= ––– 1 + –––
g
2
0
=
c
g
0
c
2
e la sua traiettoria forma con l’asse
x
'
x
un angolo
q
tale che
v
y
'
c
1
v
0
tg
q
= ––– = – ––––
⇒
sen
q
= – ––– , cos
q
= ––– .
v
x
'
g
0
v
0
g
0
c
Più in generale, ponendo
v
x
=
c
cos
f
,
v
y
=
c
sen
f
,
v
z
= 0, cioè considerando una traietto-
ria della luce nel piano
x, y
, si trova facilmente che
v
x
'
2
+
v
y
'
2
=
c
2
ed eguale risultato si
ottiene nel caso tridimensionale.
y
x
O
q
O
'
x
'
y
'
c
c
Figura 3.19 (Esempio 3.8)
Esempio 3.9
Due elettroni si muovono nel sistema
O
, uno con velocità 0.7
c
concorde all’asse
x
e
l’altro con velocità 0.5
c
discorde all’asse
x
. Qual è la velocità relativa?
Soluzione
Prendiamo come sistema
O
' quello in cui è in quiete l’elettrone avente velocità 0.7
c
; in
questo sistema la velocità del secondo elettrone è appunto la velocità relativa al primo.
Abbiamo
v
0
= 0.7
c
,
v
x
= 0.5
c
(e
v
y
=
v
z
= 0). Pertanto
– 0.5
c
– 0.7
c
1.2
c
v
x
' = –––––––––––––– = – –––– = – 0.89
c
.
0.7
c
0.5
c
1.35
1 + –––––––––
c
2
La trasformazione classica (3.12) ci avrebbe dato – 1.2
c
, invece la trasformazione rela-
tivistica dà un risultato che in modulo è minore di
c
(se invece
O
' fosse il sistema in cui
è in quiete l’elettrone avente velocità – 0.5
c
, troveremmo
v
x
' = 0.89
c
, cioè lo stesso risul-
tato). È facile verificare che
v
x
' resta in modulo sempre minore di
c
se
v
x
e
v
0
sono
entrambe minori di
c
.