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te: quando si compone la velocità di un punto materiale con quella di un sistema di
riferimento, ovvero si osserva il moto da un diverso sistema di riferimento, non si
ottiene mai un valore maggiore o eguale a
c
se le velocità del punto e del sistema
sono entrambi minori di
c
.
Questo fatto va visto insieme ad un’altra circostanza fondamentale: dall’espres-
sione di
g
0
= (1 –
v
2
0
/
c
2
)
–1/2
, che partendo dal valore unitario assunto per
v
0
= 0 cresce
all’aumentare di
v
0
e tende all’infinito per
v
0
tendente a
c
(con
v
0
>
c
g
0
assumereb-
be un valore immaginario), si capisce che
la velocità della luce appare come un
valore limite non raggiungibile
. Per valori di
v
0
maggiori di
c
le (3.15) perderebbe-
ro significato e lo stesso succederebbe, come vedremo nel prossimo paragrafo,
anche per la quantità di moto e l’energia di un punto materiale.
Siccome noi possiamo sempre pensare che il sistema
O
' sia quello in cui è in
quiete un punto materiale che ha velocità
v
0
rispetto al sistema
O
, deduciamo in
definitiva che
la velocità di un punto materiale è sempre inferiore a c, in qualsiasi
sistema di riferimento inerziale
(essa può però essere molto vicina a
c
: la velocità
raggiunta dagli elettroni accelerati nella macchina LEP del CERN è inferiore a
c
di
circa 3 · 10
–10
m/s).
Un caso speciale è costituito dalla luce stessa, che ha velocità c in qualsiasi
sistema inerziale
, come abbiamo verificato; pertanto
non esiste un sistema inerzia-
le in cui la velocità della luce è eguale a zero
.
Accanto alle trasformazioni da
O
a
O
' vanno considerate le trasformazioni
inverse da
O
' a
O
; si tratta di ricavare
x, y, z, t
in funzione di
x
',
y
',
z
',
t
' nelle (3.15) e
di procedere in modo analogo nelle (3.16). Si trova
v
'
x
+
v
0
v
x
= –––––––––
v
0
x
=
g
0
(
x
' +
v
0
t
')
1 + –––
v
'
x
c
2
y
=
y
'
(3.17)
v
'
y
z
=
z
'
v
y
= ––––––––––––––
v
0
v
0
t
=
g
0
(
t
' + –––
x
'
)
g
0
(
1 + –––
v
'
x
)
c
2
c
2
v
'
z
v
z
= –––––––––––––
v
0
g
0
(
1 + –––
v
'
x
)
c
2
e si nota che le trasformazioni inverse hanno la stessa struttura, semplicemente
v
0
è
diventata –
v
0
, come era prevedibile a priori.
Trasformazione delle accelerazioni
Per trovare le formule secondo cui si trasforma l’accelerazione cominciamo
dalle componenti
a
x
=
d
v
x
/
dt
e
a
x
' =
d
v
'
x
/
dt
'. Abbiamo già visto che
dt
' =
g
0
dt
(1 –
v
0
v
x
/
c
2
); dalla prima delle (3.16) ricaviamo
d
v
x
(
v
x
–
v
0
)
v
0
d
v
x
1
d
v
x
d
v
'
x
=
––––––––– + –––––––––––––– = ––– ––––––––––––
v
0
v
0
2
v
0
2
1 – –––
v
x
c
2
(
1 – –––
v
x
)
g
2
0
(
1 – –––
v
x
)
c
2
c
2
c
2
Teoria della relatività. Trasformazioni di Lorentz
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