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Un esempio tipico è quello di una barca che attraversa un fiume e viene trasportata dalla
corrente. Supponiamo che il fiume sia rettilineo e largo
d
, che la velocità della corrente sia
v
F
(velocità del moto di trascinamento, costante), che la barca si muova sempre ortogonalmen-
te a
v
F
con velocità
v
B
costante (relativa al sistema
O
' che si sposta con la corrente).
Se la barca parte dal punto
A
, quanto a valle si trova il punto
B
di arrivo? Il tempo di
attraversamento si calcola più facilmente nel sistema
O
' e vale
d
/
v
B
; in questo tempo la cor-
rente percorre il tratto
b
= (
d
/
v
B
)
v
F
e ciò risponde alla domanda. La traiettoria della
barca rispetto a
O
, solidale alle rive, è un segmento lungo
d
2
+
b
2
che forma con la corren-
te l’angolo
q
= arctg (
v
B
/
v
F
); la velocità rispetto a
O
è
v
2
B
+
v
2
F
.
Note sulle formule di Poisson
Scriviamo le componenti cartesiane del vettore
d
u
x
/
dt
come proiezioni del vettore stes-
so sugli assi:
d
u
x
d
u
x
d
u
x
d
u
x
–––– =
(
–––– ·
u
x
)
u
x
+
(
–––– ·
u
y
)
u
y
+
(
–––– ·
u
z
)
u
z
.
dt dt
dt
dt
d
u
x
Il primo termine però è nullo perché, come abbiamo già ricavato più volte, –––– è
dt
d
u
y
d
u
z
ortogonale a
u
x
. Ragionando allo stesso modo per –––– e –––– abbiamo:
dt dt
d
u
x
d
u
x
d
u
x
–––– =
(
–––– ·
u
y
)
u
y
+
(
–––– ·
u
z
)
u
z
,
dt dt
dt
d
u
y
d
u
y
d
u
y
–––– =
(
–––– ·
u
x
)
u
x
+
(
–––– ·
u
z
)
u
z
,
dt dt
dt
d
u
z
d
u
z
d
u
z
–––– =
(
–––– ·
u
x
)
u
x
+
(
–––– ·
u
y
)
u
y
.
dt dt
dt
Le sei componenti non sono indipendenti, ma eguali in modulo a due a due; infatti derivando
la
u
x
·
u
y
= 0 si ricava
d
u
x
d
u
y
–––– ·
u
y
= – –––– ·
u
x
;
dt dt
analogamente
d
u
x
d
u
z
d
u
y
d
u
z
–––– ·
u
z
= – –––– ·
u
x
, –––– ·
u
z
= – ––––
u
y
.
dt dt
dt
dt
Definiamo il vettore
w
che ha come componenti i tre termini indipendenti:
d
u
y
d
u
z
d
u
x
w
x
= –––– ·
u
z
,
w
y
= –––– ·
u
x
,
w
z
= –––– ·
u
y
.
dt dt
dt
Dalle proprietà del prodotto vettoriale (appendice C) ricaviamo infine
u
x
u
y
u
z
d
u
x
–––– =
w
z
u
y
–
w
y
u
z
=
w
x
w
y
w
z
=
w
×
u
x
,
dt
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0
0
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Moti relativi