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a
x
⇒
a
'
x
= –––––––––––––– .
(3.18a)
v
0
3
g
3
0
(
1 – –––
v
x
)
c
2
Passando alla seconda delle (3.16) si ha
v
0
v
y
–––––
d
v
y
v
y
v
0
d
v
x
1
c
2
d
v
'
y
=
–––––––––––– + –––––––––––––– = ––––––––––––
(
d
v
y
+ –––––––––
d
v
x
)
v
0
v
0
2
v
0
v
0
g
0
(
1 – –––
v
x
)
g
0
(
1 – –––
v
x
)
c
2
g
0
(
1 – –––
v
x
)
1 – –––
v
x
c
2
c
2
c
2
c
2
v
0
v
y
–––––
1
c
2
⇒
a
'
y
=
–––––––––––––
(
a
y
+
a
x
––––––––
)
.
(3.18b)
v
0
2
v
0
g
2
0
(
1 – –––
v
x
)
1 – –––
v
x
c
2
c
2
Analogamente
v
0
v
z
–––––
1
c
2
a
'
z
=
––––––––––––––
(
a
z
+
a
x
–––––––––
)
.
(3.18c)
v
0
2
v
0
g
2
0
(
1 – –––
v
x
)
1 – –––
v
x
c
2
c
2
Se nel sistema
O
l’accelerazione è nulla (
a
x
=
a
y
=
a
z
= 0), lo stesso avviene nel
sistema
O
' (
a
'
x
=
a
'
y
=
a
'
z
= 0). Ciò è coerente con l’affermazione iniziale secondo cui,
dato un sistema inerziale, con una trasformazione di Lorentz si passa ad un altro
sistema inerziale (e ci ricorda che di sistemi inerziali ne esiste un numero infinito).
Invece, se in un sistema inerziale si misura un’accelerazione non nulla, in un altro
sistema inerziale si trova un valore non nullo diverso, secondo (3.18); non è più
valido il risultato
a
=
a
', garantito dalle trasformazioni galileiane (ad esso si ritorna
solo nel caso di piccole velocità, come è facile verificare). Si comprende così per-
ché la legge di Newton
F
=
m
a
non è invariante rispetto ad una trasformazione di
Lorentz.
Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi
Nella meccanica newtoniana si ammette implicitamente che le misure di spazio
e di tempo siano invarianti rispetto al sistema di riferimento ovvero che esse abbia-
mo un significato assoluto: se un oggetto misurato in
O
ha lunghezza
L
anche
O
'
trova
L
e un intervallo di tempo
D
t
misurato in
O
vale ancora
D
t
se misurato in
O
'.
Invece un’impostazione corretta del problema, che tenga conto di tutti i fenomeni
conosciuti (tra i quali la costanza del valore
c
della velocità della luce in qualsiasi
sistema inerziale), porta alla conclusione che le misure di lunghezza e tempo dipen-
dono dal sistema di riferimento; numericamente l’effetto si può trascurare solo per
velocità molto minori di
c
.
Cominciamo col considerare una sbarretta lunga
L
', la quale è in quiete
sull’asse
x
' del sistema
O
';
x
'
1
e
x
'
2
sono le coordinate dei suoi estremi. Supponiamo
che
O
' si muova con velocità
v
0
rispetto a
O
e che un osservatore nel sistema
O
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Moti relativi