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Quantità di moto ed energia relativistiche
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Esempio 3.12
Un fotone avente energia
E
si muove lungo una linea retta che forma l’angolo
q
con
l’asse
x
del sistema
O
. Calcolare nel sistema
O
' le espressioni di
E
' e
q
'.
Soluzione
Abbiamo visto nella nota di questo paragrafo che il fotone, considerato come particella
di massa nulla, ha quantità di moto
p
=
E/c
. Tale relazione è vera in qualsiasi sistema
inerziale in quanto il fotone ha sempre velocità
c
e quindi massa nulla. Pertanto nel siste-
ma
O
possiamo scrivere
E
E
p
x
=
p
cos
q
= ––– cos
q
,
p
y
=
p
sen
q
= ––– sen
q
,
p
z
= 0
c
c
e analogamente nel sistema
O
'
E
'
E
'
p
'
x
= ––– cos
q
' ,
p
'
y
= ––– sen
q
' ,
p
'
z
= 0 .
c
c
Dalle (3.28)
E
'
E
v
0
E
v
0
––– cos
q
' =
g
0
(
––– cos
q
– –––
E
)
=
g
0
–––
(
cos
q
– –––
)
c
c
c
2
c
c
E
'
E
––– sen
q
' = ––– sen
q
c
c
E
v
0
E
' =
g
0
(
E
–
v
0
––– cos
q
)
=
g
0
E
(
1 – ––– cos
q
)
.
c
c
Dividendo la seconda relazione per la prima si ottiene
sen
q
tg
q
' = –––––––––––––– ,
v
0
g
0
(
cos
q
– –––
)
c
da cui possiamo calcolare l’angolo
q
' in funzione di
q
e della velocità relativa dei sue
sistemi; si noti che non c’è dipendenza dall’energia del fotone. In particolare, se
q
=
p
/2,
tg
q
' = –
c
/
g
0
v
0
in accordo con quanto trovato nell’esempio 3.8.
La relazione tra le energie mostra che l’energia dipende dal sistema di riferimento, pur
avendo il fotone la stessa velocità in qualsiasi sistema. Ponendo per semplicità
q
= 0, abbiamo
v
0
v
0
1 – –––
1 – –––
v
0
c
c
E
' =
g
0
E
(
1 – ––
)
=
E
–––––––––– =
E
–––––––––– <
E
.
c
v
2
0
v
0
1 – ––– 1 + –––
c
2
c
Se, ad esempio,
O
è il sistema in cui viene emesso il fotone di energia
E
, nel sistema
O
'
che si allontana da
O
si misura un’energia
E
' inferiore e dalla differenza delle energie si
può calcolare la velocità relativa tra i due sistemi (se
O
' si avvicinasse ad
O
, esso misu-
rerebbe un’energia superiore; in ogni caso si ha un’informazione sul moto relativo, non
su chi si muove e chi è fermo).
Resta il problema di capire da cosa dipenda l’energia di un fotone. Tratteremo questo
argomento nel secondo volume e vedremo che un fotone di energia
E
è associato alla
propagazione di un’onda elettromagnetica di frequenza
n
(la nozione di propagazione
ondulatoria verrà introdotta nel capitolo 9 di questo volume); l’energia del fotone è lega-
ta alla frequenza dell’onda dalla relazione
E
=
h
n
, dove
h
è una costante fondamentale,
la
costante di Planck
. Da questo punto di vista la relazione precedente si scrive
y
y
'
O
O
'
x
p
p
'
x
'
q
q
'
Figura 3.23 (Esempio 3.12)