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Velocità e accelerazione di un punto rispetto ad un altro
Oltre al moto di un punto visto da due diversi sistemi di riferimento, è neces-
sario talvolta considerare il moto di un punto rispetto ad un altro punto. Per discu-
tere questo argomento ci serviamo dei risultati appena trovati, anche se si potreb-
be arrivare alla soluzione in modo più diretto.
Abbiamo due punti che si muovono in un sistema
O
, con posizione, velocità e
accelerazione date da:
d
r
1
d
v
1
punto
P
1
r
1
=
OP
1
,
v
1
= ––– ,
a
1
= ––– ,
dt
dt
d
r
2
d
v
2
punto
P
2
r
2
=
OP
2
,
v
2
= ––– ,
a
2
= ––– .
dt
dt
La posizione relativa di
P
2
rispetto a
P
1
è individuata dal raggio vettore che va sa
P
1
a
P
2
,
P
1
P
2
=
r
2
–
r
1
=
r
1, 2
.
Per calcolare la velocità di
P
2
relativa a
P
1
immaginiamo un secondo sistema di
riferimento
O
', con origine in
P
1
e assi che non ruotano rispetto a quelli di
O
(
w
= 0):
la velocità di
P
2
vista da
O
' è appunto la velocità di
P
2
rispetto a
P
1
, che indichiamo
con
v
2, 1
. Con riferimento a (3.4), la velocità assoluta
v
è
v
2
, la velocità relativa
v
' è
v
2, 1
e la velocità di trascinamento
v
O
'
+
w
×
r
' è solo
v
O
'
=
v
1
in quanto
w
= 0.
Pertanto
v
2
=
v
2, 1
+
v
1
⇒
v
2, 1
=
v
2
–
v
1
.
Allo stesso modo si dimostra che l’accelerazione di
P
2
rispetto a
P
1
è
a
2, 1
=
a
2
–
a
1
.
In conclusione, posizione, velocità e accelerazione di un punto in moto rispetto
ad un altro punto in moto sono date dalla differenza tra le posizioni, le velocità e le
accelerazioni dei due punti, in un dato sistema di riferimento.
Il risultato può essere enunciato in modo diverso. Il vettore
r
1, 2
può essere pen-
sato come un segmento in movimento, di cui variano nel tempo modulo e direzio-
ne. La derivata rispetto al tempo di tale segmento mobile è data da
d
r
1, 2
d
r
2
d
r
1
–––– = ––– – ––– =
v
2
–
v
1
=
v
2, 1
,
dt dt dt
cioè dalla differenza delle velocità dei due estremi. Analogamente
d
v
1, 2
d
v
2
d
v
1
––––– = –––– – –––– =
a
2
–
a
1
=
a
2, 1
.
dt dt dt
Ci serviremo di queste formule nella dimostrazione del teorema del momento
angolare (paragrafo 4.4). Esse vanno sempre tenute presenti nei problemi in cui si
considerano moti relativi tra due corpi (ad esempio, un corpo che scivola sopra un
altro, a sua volta in movimento). Implicitamente le abbiamo già usate in alcuni
esempi e problemi relativi al capitolo 2.
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Moti relativi