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paiono non solo le derivate delle coordinate, ma anche quelle dei versori degli assi
del sistema mobile, che forniscono gli ultimi tre termini della (3.2).
Da (1.33) abbiamo che la derivata di un versore
u
, in quanto vettore con modu-
lo costante, si può scrivere
w
×
u
; pertanto per le derivate dei tre versori
u
x
'
,
u
y
'
,
u
z
'
, si hanno le seguenti
formule
, dette
di Poisson
:
d
u
x
'
d
u
y
'
d
u
z
'
–––– =
w
×
u
x
'
, –––– =
w
×
u
y
'
, –––– =
w
×
u
z
'
.
dt
dt
dt
I tre versori
u
x
'
,
u
y
'
,
u
z
'
, che individuano la terna mobile, sono rigidamente legati
l’uno all’altro, nel senso che le loro mutue orientazioni non possono cambiare. Alla
rotazione di uno, con velocità angolare
w
, corrisponde la rotazione degli altri due con
la stessa velocità angolare, come se essi fossero parte di un unico corpo indeformabi-
le (questo risultato sarà più chiaro dopo lo studio del corpo rigido, nel capitolo 6; ad
ogni modo le formule di Poisson sono dimostrate per esteso nel paragrafo 3.7).
Possiamo adesso riscrivere gli ultimi tre termini di (3.2) come
x
'(
w
×
u
x
'
) +
y
'(
w
×
u
y
'
) +
z
'(
w
×
u
z
'
)
=
w
×
(
x
'
u
x
'
+
y
'
u
y
'
+
z
'
u
z
'
) =
w
×
r
' ; (3.3)
dato che
x
',
y
',
z
' sono numeri, li abbiamo trasportati a secondo membro in ciascun
prodotto vettoriale. Sostituendo (3.3) in (3.2) otteniamo
v
=
v
O
'
+
v
' +
w
×
r
' .
(3.4)
In particolare
d
r
' ––– =
v
' +
w
×
r
' .
(3.5)
dt
La (3.4) esprime il
teorema delle velocità relative
; le misure di velocità compiute nei
due sistemi sono diverse, ma non sono scorrelate, in quanto legate appunto dalla (3.4).
La differenza
v
t
tra le velocità misurate nei due sistemi di riferimento è chiama-
ta
velocità di trascinamento
:
v
t
=
v
–
v
' =
v
O
'
+
w
×
r
' .
(3.6)
Essa è pari alla velocità rispetto al sistema fisso di quel punto
P
*, solidale con il
sistema mobile, che coincide nell’istante considerato con punto
P
; per tale punto
P
* infatti
v
' = 0, proprio in quanto esso è solidale con il sistema mobile. In altre
parole, se
P
fosse fermo rispetto al sistema mobile, la sua velocità misurata dal
sistema fisso coinciderebbe con la velocità di trascinamento. Se invece
P
si muove
rispetto al sistema mobile, la (3.4) afferma che la velocità assoluta è la somma della
velocità relativa e di quella di trascinamento.
Il moto di trascinamento, legato in pratica al moto del sistema mobile, può esse-
re considerato in ogni istante come la somma di un termine traslatorio con velocità
istantanea
v
O
'
e di un termine rotatorio con velocità angolare
w
, variabile in genera-
le sia in modulo che in direzione.
Teorema delle accelerazioni relative
Consideriamo ora la relazione tra le accelerazioni del punto
P
misurate rispetto
ai due sistemi di riferimento. Rispetto al sistema fisso l’
accelerazione assoluta
è
data da
d
2
x d
2
y d
2
z
a
= ––––
u
x
+ ––––
u
y
+ ––––
u
z
,
dt
2
dt
2
dt
2
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Moti relativi
Formule di Poisson
Teorema delle velocità
relative
Velocità di trascinamento
Accelerazione assoluta