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per convenzione, chiamiamo
sistema fisso
e da una terna cartesiana con centro
O
'
che, sempre per convenzione, chiamiamo
sistema mobile
.
Vogliamo ricavare una relazione tra la posizione, la velocità e l’accelerazione
del punto
P
, misurate da un osservatore solidale con il sistema fisso, e le corrispon-
denti grandezze misurate da un osservatore solidale con il sistema mobile.
Cercheremo poi di stabilire come la nozione di invarianza possa eventualmente
estendersi appunto al caso in cui i sistemi di riferimento siano in moto l’uno rispet-
to all’altro. Ripetiamo che la dizione sistema fisso e sistema mobile è solo una que-
stione di convenzioni. Vedremo in seguito che esiste una maniera più fisica per
distinguere i sistemi di riferimento in due classi ben diverse.
La relazione tra le posizioni del punto
P
, misurate rispetto ai due sistemi di rife-
rimento, è la seguente:
r
=
OO'
+
r '
,
(3.1)
con
r
=
x
u
x
+
y
u
y
+
z
u
z
,
r'
=
x
'
u
x
'
+
y
'
u
y
'
+
z
'
u
z
'
,
OO'
=
x
O
'
u
x
+
y
O
'
u
y
+
z
O
'
u
z
.
Assumiamo, in accordo con la convenzione che il primo sistema sia fisso, che i ver-
sori
u
x
,
u
y
,
u
z
siano indipendenti dal tempo; tali non sono invece i versori degli assi
del sistema mobile.
La velocità del punto
P
rispetto al sistema fisso, che chiamiamo
velocità assolu-
ta
, è data da
d
r
dx dy
dz
v
= ––– = –––
u
x
+ –––
u
y
+ –––
u
z
,
dt dt dt dt
mentre quella misurata da un osservatore solidale al sistema mobile, che indichia-
mo come
velocità relativa
, è
dx
'
dy
'
dz
'
v
' = –––
u
x'
+ –––
u
y'
+ –––
u
z'
.
dt dt dt
La velocità dell’origine
O
' del sistema di riferimento mobile misurata da un osser-
vatore nel sistema fisso è data da
d
OO
'
dx
O
'
dy
O
'
dz
O
'
v
O
'
= –––––– = ––––
u
x
+ ––––
u
y
+ ––––
u
z
.
dt
dt dt
dt
La derivata rispetto al tempo della (3.1) fornisce
d
r
d
OO
'
d
r
'
dx
O
'
dy
O
'
dz
O
'
v
= ––– = –––––– + ––– = ––––
u
x
+ ––––
u
y
+ ––––
u
z
+
dt dt
dt dt
dt
dt
dx
'
dy
'
dz
'
d
u
x
'
d
u
y
'
d
u
z
'
+ –––
u
x
'
+ –––
u
y
'
+ –––
u
z
'
+ x
' –––– +
y
' –––– +
z
' ––––
dt
dt
dt
dt
dt
dt
ovvero
d
u
x
'
d
u
y
'
d
u
z
'
v
=
v
O
'
+
v
' +
x
' –––– +
y
' –––– +
z
' –––– .
(3.2)
dt
dt
dt
d
r
'
Osserviamo che ––– non coincide con
v
' in quanto nella variazione di
r
' com-
dt
Sistemi di riferimento. Velocità e accelerazione relative
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Velocità assoluta
Velocità relativa