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Capitolo 7
Elementi di calcolo delle probabilità e di statistica
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ordinariamente a differire in modo sempre minore dalla probabilità dell’even-
to. Tale differenza diminuisce in modulo al crescere delle prove effettuate”.
Questo asserto viene anche riassunto nella seguente relazione simbolica:
lim ( ) lim ( )
r
r
v
n
n
r
n
F E
P E
n
→∞
→∞
=
=
Equazione 6
Questa definizione è dovuta a R. Von Mises. Altri fautori di questo approccio
sono stati G. Castelnuovo ed E. Kamke.
Si noti che il limite dell’Equazione 6 non è da considerarsi in senso stretto,
come quello del calcolo differenziale (vedi cap. 6). Se così fosse, si dovrebbe
ammettere che, considerato un certo
0
ε
>
, dovrebbe esistere un certo
N
ν
∈
tale che
r
n
ν
∀ >
la differenza
( )
( )
F E P E
ε
−
<
. Tuttavia, non sempre questo
v
è individuabile con certezza, ovvero, non sempre si può conoscere dopo
quante prove la frequenza approssimerà con un certo grado di esattezza la
probabilità.
Si consideri ora un esperimento perfettamente riproducibile con risultati equi-
probabili. È pensabile determinare le probabilità dei risultati dell’esperimento
mediante la definizione classica. In effetti, si nota che, al crescere delle prove,
ordinariamente, la frequenza
F
(
E
) di un evento
E
tende ad approssimare
proprio il valore della probabilità classica
P(E)
. Si noti che, in questo caso, la
frequenza e la probabilità classica, sebbene legate dalla relazione dell’Equa-
zione 6, restano due concetti profondamente distinti per la loro natura. La
frequenza è un numero che non può essere conosciuto se non si effettuano
delle prove di un esperimento. Si tratta pertanto di una grandezza misurata
sperimentalmente e determinabile
a posteriori
(dopo l’esperimento). La pro-
babilità nel senso classico del termine è un valore che si può determinare senza
effettuare le prove dell’esperimento, ma analizzando lo spazio campionario
ad esso associato. Pertanto essa è un concetto teorico, definibile a priori, ossia
senza delle prove sperimentali.
La legge empirica del caso (Equazione 6) permette di estendere il concetto di
probabilità a tutti quei casi in cui è possibile svolgere una serie di prove di un
esperimento senza che le condizioni varino. Pertanto, in essa sono contemplati
anche casi non gestibili mediante la probabilità classica; ad esempio quando
i risultati non sono equiprobabili. L’Equazione 6 definisce quindi una nuova
probabilità che viene detta
probabilità statistica
o
frequentista
. Per conoscere
la probabilità statistica è necessario svolgere numerose prove di un esperimen-
to e notare che al crescere delle prove le frequenze con cui si verifica un evento
tendono ad assumere un certo valore identificato appunto con la probabilità.
Si può quindi fornire la seguente definizione statistica o frequentista della
probabilità:
“La probabilità statistica di un evento aleatorio è un numero capace di preve-
dere la frequenza dell’evento per un numero di prove sufficientemente elevato
di un esperimento ripetibile sempre nelle medesime condizioni”.