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Capitolo 7
Elementi di calcolo delle probabilità e di statistica
535
Si dice che l’evento
E
1
implica
l’evento
E
2
se
E
1
è contenuto in
E
2
:
1
2
E E
⊆
Questa relazione indica che se si verifica l’evento
E
1
, allora l’evento
E
2
deve
necessariamente verificarsi.
Due eventi
E
1
ed
E
2
si dicono
incompatibili
(o
mutuamente incompatibili
) se
la loro intersezione è nulla.
1
2
E E
∩ = ∅
In tal caso il verificarsi di uno dei due eventi esclude necessariamente il veri-
ficarsi dell’altro.
Un insieme di
n
eventi
E
1
,
E
2
,…,
E
n
viene detto
sistema completo di eventi
se
l’unione degli eventi è pari all’insieme universo
U
.
1
2
n
E E
E U
∪ ∪…∪ =
Se gli eventi
E
1
,
E
2
,…,
E
n
sono tutti mutuamente incompatibili, ossia
,
,
k
j
k j
E E
E E
= ∅ ∀ ∩
, allora
E
1
,
E
2
,…,
E
n
viene detto
sistema completo di eventi
incompatibili.
Dopo aver definito gli eventi come sottoinsiemi dell’insieme
U
ed aver identifi-
cato particolari tipi di eventi e particolari relazioni che possono sussistere tra gli
eventi, viene spontaneo chiedersi come si possa quantificare la possibilità che
uno o più di questi eventi si verifichino nell’effettuare una prova dell’esperi-
mento. Si vuole pertanto attribuire a ciascun evento un numero che sia indice
della possibilità che esso si verifichi. Tale numero viene detto
probabilità
. Va det-
to subito che il percorso verso la definizione della probabilità in modo coerente
e completo ha coinvolto diversi studiosi, ciascuno dei quali ha fornito una pro-
pria definizione di probabilità. Il passo conclusivo è stato l’introduzione di una
teoria assiomatica della probabilità che ha raccolto come casi particolari le defi-
nizioni precedenti. Questo percorso viene affrontato nei paragrafi successivi.
7.1.3
Definizione classica della probabilità
Si suppone di effettuare un esperimento che presenti una
simmetria
nei
risultati (negli esiti). Per via di tale simmetria, nessuno degli esiti è quantita-
tivamente differente dagli altri. Questa simmetria influenza anche l’insieme
universo
U
che risulta formato da eventi elementari che hanno tutti la stessa
possibilità di verificarsi. Tali eventi vengono detti
equiprobabili
. Da tale deno-
minazione si comprende che la probabilità di tutti questi eventi elementari
deve avere il medesimo valore numerico. Quando si effettua una prova dell’e-
sperimento, essa può dare un esito corrispondente all’evento elementare
E
i
.
In tal caso si dice che la prova
è favorevole all’evento elementare
E
i
oppure
verifica l’evento
elementare
E
i
. Tutti gli eventi elementari, oltre ad essere
equiprobabili, sono anche
incompatibili
. Questo significa che se una prova
è favorevole ad un evento elementare
E
i
, ciò esclude automaticamente che