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XVI
Indice
3.9 Relazioni d’ordine stretto..................................................................................... 273
3.10 Funzioni ................................................................................................................. 273
3.11 Funzioni suriettive, iniettive e biiettive ................................................................ 275
3.12 Funzioni composte................................................................................................ 277
3.13 Funzione inversa e identità................................................................................... 277
Capitolo 4
- Insiemi numerici
4.1 Leggi di composizione interne ed esterne .......................................................... 279
4.2 L’insieme dei numeri naturali.............................................................................. 279
4.2.1 Assiomi di Peano ........................................................................................280
4.2.2 Addizione di naturali .................................................................................281
4.2.3 Moltiplicazione di naturali ........................................................................283
4.2.4 Relazione d’ordine nei naturali ................................................................284
4.2.5 La divisione euclidea..................................................................................285
4.2.6 La potenza ..................................................................................................287
4.3 Rappresentazione dei numeri naturali ................................................................ 287
4.3.1 I primi modi di rappresentare i numeri naturali .....................................287
4.3.2 Il sistema di numerazione dell’antica Roma ............................................288
4.3.3 Il sistema di numerazione decimale .........................................................289
4.3.4 Il sistema di numerazione binario ............................................................290
4.3.5 Conversioni.................................................................................................291
4.4 L’insieme dei numeri interi.................................................................................. 292
4.5 I numeri razionali.................................................................................................. 296
4.5.1 Definizione dell’insieme dei numeri razionali.........................................296
4.5.2 Operazioni nell’insieme dei numeri razionali .........................................297
4.5.3 La relazione d’ordine nell’insieme dei numeri razionali........................298
4.5.4 Scrittura posizionale dei numeri razionali ...............................................299
4.6 Le problematiche che portano alla nascita dei numeri reali ............................. 301
4.6.1 La scrittura posizionale..............................................................................301
4.6.2 L’estrazione di radice.................................................................................301
4.6.3 Le grandezze incommensurabili...............................................................301
4.6.4 Le soluzioni di equazioni a coefficienti interi..........................................303
4.6.5 La quadratura del cerchio .........................................................................304
4.7 La costruzione dell’insieme dei numeri reali...................................................... 304
4.7.1 Primo approccio: la notazione posizionale ..............................................304
4.7.2 Secondo approccio: i tagli di Dedekind ...................................................304
4.7.3 Terzo approccio: le successioni di numeri razionali................................308
4.8 Numeri irrazionali, numeri algebrici e numeri trascendenti............................. 308
4.8.1 I numeri irrazionali....................................................................................308
4.8.2 Numeri che sono zeri di un polinomio: i numeri algebrici ....................309
4.8.3 Numeri che non sono zeri di un polinomio: i numeri
trascendenti ................................................................................................310
4.9 Numeri complessi.................................................................................................. 311
4.9.1 I problemi aperti dopo l’estensione ai numeri reali................................311
4.9.2 Costruzione dei numeri complessi............................................................312
4.9.3 Forma algebrica dei numeri complessi.....................................................313