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Capitolo 6
Successioni e serie numeriche, calcolo differenziale per funzioni di una variabile
463
Teorema 4
Se esiste il limite di
f
in
x
0
e se per ogni intorno
I
di
x
0
esistono due punti
x
1
,
x
2
∈
I
∩
(
X
−
{
x
0
})
tali che
1
( ) 0
f x
≥
e
2
( ) 0
f x
≤
, allora risulta
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
=
.
Si passa ora alla rassegna dei teoremi di confronto tra limiti. Di seguito si ripor-
tano il
primo e il secondo teorema del confronto
.
Teorema 5
Se esistono i limiti delle funzioni
f
e
g
nel punto
x
0
e si ha
0
0
lim ( ) lim ( )
x x
x x
f x
g x
→
→
>
, allora
esiste un intorno
I
di
x
0
tale che
f
(
x
)
>
g
(
x
)
∀
x
∈
I
∩
(
X
−
{
x
0
})
.
Teorema 6
Se esiste il limite della funzione
f
nel punto
x
0
e si ha
0
lim ( )
x x
f x
R
a
, con
a
→
> ∈
, allora
esiste un intorno
I
di
x
0
tale che
f
(
x
)
>
α
∀
x
∈
I
∩
(
X
−
{
x
0
})
.
Una deduzione analoga si può fare per una funzione che abbia
0
lim ( ) , con
x x
→
.
Il
terzo teorema del confronto
è conosciuto anche come
teorema dei carabi-
nieri
.
Teorema 7
Siano
f
,
f
1
ed
f
2
tre funzioni definite in
X
e sia
0
ˆ
x R
∈
un punto di accumulazione
per
X
.
Se si verifica che
0
0
1
2
lim ( ) lim ( )
x x
x x
f x
f x l
→
→
=
=
e se esiste un intorno
I
di
x
0
dove:
f
1
(
x
)
≤
f
(
x
)
≤
f
2
(
x
)
∀
x
∈
I
∩
(
X
−
{
x
0
})
Allora risulta che
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
.
Si enuncia il
criterio di convergenza di Cauchy
.
Teorema 8
Condizione necessaria e sufficiente affinché sia
0
lim ( )
x x
f x l R
→
= ∈
è che per ogni
ε
> 0
esista un intorno
I
di
x
0
tale che
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
<
ε
∀
x
1
,
x
2
∈
I
∩
(
X
−
{
x
0
})
.
Infine si riporta il teorema del
limite di una funzione composta
.