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Capitolo 6
Successioni e serie numeriche, calcolo differenziale per funzioni di una variabile
455
J
I
1
+
ε
1
f(x)
1
-
ε
f
x
0
-
d
X
x
0
x
0
+
d
y
x
Figura 2
6.1.3
Limiti per funzioni divergenti in un punto
Nel caso in cui, per
x
che tende ad
x
0
, il corrispondente valore di
f
(
x
) tende a
+
∞
(ossia la funzione diverge), allora si può scrivere
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞
.
In tal caso per ogni valore
d
> 0 si può determinare un intorno
I
di
x
0
, che in
particolare è
0
0
]
,
[
I x
x
d d
= − +
, tale che per tutti i valori
x
dell’intorno di
x
0
appartenenti al campo di esistenza
X
della funzione
f
, escluso il valore
x
0
, si
può determinare un
ε
0
e
>
per cui risulta soddisfatta la disequazione
( )
f x
e
>
ε
.
Da questa disequazione si osserva che il valore
f
(
x
) associato ad
x
cade in un
intorno
J
del valore +
∞
, ossia l’intorno
] ,
[
J
e
= +∞
.
In termini simbolici tale asserto si può riassumere sinteticamente come:
0
0
0 |
( )
| 0
f x
x X
x x
e
d
e
d
∀ > ∃ >
> ∀ ∈ < − <
L’interpretazione grafica di questo caso è mostrata in Figura 3.
Nel caso in cui, per
x
che tende ad
x
0
, il corrispondente valore di
f
(
x
) tende a
-
∞
, allora si può scrivere
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞
.
Tale scrittura equivale a dire che:
0
0
0 |
( )
| 0
f x
x X
x x
e
d
e
d
∀ > ∃ >
< − ∀ ∈ < − <