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Parte Seconda
Matematica
6.1.2
Definizione di limite
Sia
( )
y f x
=
una funzione definita in
X
con valori reali e sia
x
0
un punto di
accumulazione di
X
. Si dice che il limite di
f
(
x
) per la variabile indipendente
x
che tende ad
x
0
vale
l
e si scrive:
0
lim ( )
x x
f x l
→
=
se per ogni intorno
J
di
l
esiste un intorno
I
di
x
0
tale che, considerato un gene-
rico
x
appartenente al dominio
X
di
f
e all’intorno
I
, escluso il punto
x
0
, si ha
che
f
(
x
) cade nell’intorno
J
di
l
.
Simbolicamente si scrive:
∀
J
∈ℑ
(
l
)
∃
I
∈ℑ
(
x
0
) |
f
(
x
)
∈
J
∀
x
∈
I
∩
(
X
−
{
x
0
})
Equazione 1
Si può anche fornire una definizione più specifica, in cui si esplicitano le for-
me degli intorni.
Considerato un numero
d
> 0, si può determinare un intorno
I
di
x
0
, che
in particolare è
0
0
]
,
[
I x
x
d d
= − +
. Questo intorno è tale che per tutti i valori
x
in esso contenuti, appartenenti al campo di esistenza
X
, escluso il valore
x
0
, si può determinare un
ε
> 0 per cui risulta soddisfatta la disequazione
( )
f x l
e
− <
ε
che può anche essere riscritta come
( )
f x l
e
e
− < − <
, da cui si
ricava
( )
l
f x l
e
e
− < < +
. Da quest’ultima relazione si osserva che il valore
f
(
x
)
associato ad
x
cade in un intorno
J
del valore
l
, ossia l’intorno
]
,
[
J l
l
e e
= − +
.
Quindi in termini simbolici, esplicitando la forma degli intorni, l’Equazione 1
può essere riscritta come
0
0
0 |
( )
| 0
f x l
x X
x x
e
d
e
d
∀ > ∃ >
− < ∀ ∈ < − <
.
L’interpretazione grafica di questa definizione è presentata in Figura 2. Attra-
verso un
d
> 0 si individua lungo l’asse delle ascisse (asse
x
) un intorno
I
di
x
0
. Partendo da questo intorno, si può determinare, mediante la funzione
f
(
x
), un intorno
J
del valore
l
, lungo l’asse delle ordinate (asse
y
). L’intorno
J
è determinato graficamente in Figura 2 dalle linee tratteggiate che partono
da
0
x
d
−
d
e
0
x
d
+
d
e giungono fino ai punti
l
e
−
ε
ed
l
e
+
ε
. Per qualsiasi valore
0
x x
≠
contenuto nell’intorno
0
0
]
,
[
I x
x
d d
= − +
, il valore
f
(
x
) cade nell’intorno
]
,
[
J l
l
e e
= − +
. A tale proposito si segua in Figura 2 la freccia che, partendo da
x
, giunge fino ad
f
(
x
). Inoltre è necessario aggiungere che, per quanto si possa
considerare piccolo a piacere il valore
d
> 0, esso individuerà sempre un intor-
no di
x
0
tale che, per qualsiasi valore
x
al suo interno, vi sarà il corrispondente
valore
f
(
x
) che cadrà nell’intorno di
l
corrispondente sull’asse
y
.