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Parte Seconda
Matematica
6.1.5
Limite destro e limite sinistro
Sia
( )
y f x
=
una funzione definita in
X
con valori reali e sia
x
0
un punto di
accumulazione di
X
. Si dice che il limite destro di
f
(
x
) per la variabile indipen-
dente
x
che tende a
x
0
vale
l
e si scrive:
lim ( )
f x l
=
se in corrispondenza di un numero
d
> 0 si può determinare un intorno
destro
I
+
di
x
0
, che in particolare è
0 0
] ,
[
I
x x
d
+
= +
tale che, per tutti i valori
x
dell’intorno destro di
x
0
appartenenti al campo di esistenza
X
, è soddisfatta la
disequazione
( )
f x l
e
− <
, ossia
( )
l
f x l
e
e
− < < +
.
In termini simbolici tale asserto si può riassumere sinteticamente come:
0 0
0
0 |
( )
] ,
[
f x l
x X x x
e
d
e
d
∀ > ∃ >
− < ∀ ∈ ∩ +
2
1
x
e
< +
Tale condizione in valore assoluto equivale a scrivere che:
2
1
x
e
+ < −
oppure
2
1
x
e
< +
Queste condizioni possono essere riscritte nel modo seguente:
a
)
2 1
x
e
< − −
b
)
2
1
x
e
− <
In particolare, nella condizione
b
) la quantità
2
e
può essere grande a piacere perché
ε
può essere piccolo a piacere. Di conseguenza posto
2
1
d
e
= −
si può affermare che
tale quantità è grande a piacere. Pertanto la condizione
2
1
x
e
− <
diventa
x
d
>
che
rappresenta un intorno di +
∞
e il limite è verificato.
Si noti come considerando la condizione
a
) si può porre
2
1
d
e
= +
, dove tale quantità
può essere grande a piacere. Pertanto la condizione
a
) diventa
x
d
< −
che rappresen-
ta un intorno di -
∞
. Da questo si può dedurre che è verificato anche il seguente limite:
2 lim 2
1
x
x
=
+