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Capitolo 6
Successioni e serie numeriche, calcolo differenziale per funzioni di una variabile
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1
1
1
1
x
x
x
d
d
d
d
d
− < < +
− < − <
− <
Siccome
x
deve essere supposto diverso da 1, allora si scrive:
0 1
x
d
< − <
La definizione di limite è, pertanto, completa ed il limite è verificato.
2) Si verifichi il limite:
2 lim 2
1
x
x
=
+
Per verificare tale limite occorre dimostrare che, considerato un generico intorno di
2, esiste un intorno di +
∞
tale che, qualsiasi valore di
x
si consideri in tale intorno,
accade che
f
(
x
) è contenuto nell’intorno di 2. Simbolicamente si può scrivere:
0
0 |
( ) 2
|
f x
x X x
e
d
e
d
∀ > ∃ >
− < ∀ ∈ >
Si considera inizialmente l’intorno
( ) 2
f x
e
− <
dove
0
e
>
è un valore piccolo a
piacere.
( ) 2
f x
ε
− <
2 2
1
x
x
ε
− <
+
2 2(1 )
1
x x
x
ε
− + <
+
2
x
2 2
x
− −
1
x
ε
<
+
2
1
x
ε
− <
+
2
1
x
ε
−
<
+
2
1
x
ε
<
+
Siccome
1 0
x
+ >
si possono moltiplicare ambo i membri per tale quantità mante-
nendo il segno della disequazione. Inoltre è possibile dividere ambo i membri per
0
e
>
.