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462
Parte Seconda
Matematica
0
0
0
0
0
0 0
0
0
lim ( )
0
0 |
( )
]
, [
lim ( )
0
0 |
( )
] ,
[
lim ( )
0
0 |
( )
]
, [
x x
x x
x x
f x
f x
x X x
x
f x
f x
x X x x
f x
f x
x X x
x
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
−
+
−
→
→
→
= +∞ ⇔ ∀ > ∃ >
> ∀ ∈ ∩ −
= −∞ ⇔ ∀ > ∃ >
< − ∀ ∈ ∩ +
= −∞ ⇔ ∀ > ∃ >
< − ∀ ∈ ∩ −
Sussiste il seguente teorema.
Teorema 1
Detto
X
il campo di esistenza di una funzione reale
f
di variabile reale, se
x
0
è un
punto di accumulazione a destra e sinistra per
X
, allora esiste il limite di
f
in
x
0
ed è
uguale ad
l
se e solo se esistono il limite a destra e il limite a sinistra di
f
in
x
0
e sono
uguali ad
l
.
0
0
0
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x x
x x
x x
f x l
f x l
f x
−
+
→
→
→
= ⇔ = =
6.1.6
Teoremi sui limiti
In questo paragrafo si elencano alcuni teoremi sui limiti, che risultano fonda-
mentali per lo sviluppo del calcolo differenziale di funzioni reali di variabile
reale.
Innanzitutto è degno di nota il
teorema di unicità del limite
.
Teorema 2
Se una funzione ammette un limite in un punto
x
0
o all’infinito, allora tale limite
è unico.
Vi sono poi alcuni teoremi sul segno del valore assunto dal limite. Uno di essi
è il
teorema della permanenza del segno
.
Teorema 3
Se una funzione
f
definita in
X
ha in un punto
0
0
x
≠
di accumulazione per
X
, un
limite pari ad
l
, allora esiste un intorno di
x
0
(al più escluso
x
0
) in cui la
f
assume
valori tutti dello stesso segno di
l
.
Il seguente teorema fornisce condizioni sufficienti a stabilire che il valore del
limite è nullo.