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Capitolo
24
Legge di Gauss
Utilizzando le unità SI di
E
e di
A
, si ricava che il flusso si misura in (N
?
m
2
/C). Il flusso
elettrico è proporzionale al numero di linee di campo elettrico che attraversano una
data superficie.
Se la superficie scelta non è perpendicolare al campo, il flusso che la attraversa
deve risultare minore di quello calcolato con l’Equazione 24.1. Consideriamo
la Figura 24.2, dove la normale alla superficie di area
A
forma un angolo
u
con
la direzione del campo elettrico uniforme. Si noti che il numero di linee che
attraversano quest’area è uguale al numero di linee che attraversano l’area
A
›
, la
proiezione dell’area
A
nella direzione perpendicolare al campo. L’area
A
è data dal
prodotto tra la lunghezza e la larghezza della superficie:
A
=
lw
. Al margine sinistro
della figura si vede che le larghezze delle superfici sono legate dalla relazione
w
›
=
w
cos
u
. L’area
A
›
è data da
A
›
=
lw
›
=
lw
cos
u
. Poiché il flusso attraverso
A
è uguale al
flusso attraverso
A
›
, si conclude che il flusso attraverso
A
è
F
E
5
EA
5
EA
cos
u
(24.2)
Da questo risultato ricaviamo che il flusso attraverso una data superficie di area
A
ha il valore massimo
EA
quando la superficie è perpendicolare al campo (quan-
do la normale alla superficie è parallela al campo, cioè
u
5
0° nella Fig. 24.2).
Il flusso è zero quando la superficie è parallela al campo (quando la normale alla
superficie è perpendicolare al campo, cioè
u
5
90°).
In questa discussione l’angolo
u
è stato usato per descrivere l’orientazione della
superficie di area
A.
Si può interpretare
u
anche come l’angolo fra il vettore campo
elettrico e la direzione normale alla superficie. In questo caso, il prodotto
E
cos
u
nell’Equazione 24.2 è la componente del campo perpendicolare alla superficie. Il
flusso attraverso la superficie può essere scritto come
F
E
5
(
E
cos
u
)
A
5
E
n
A
, dove
abbiamo usato
E
n
per indicare la componente del campo elettrico perpendicolare
alla superficie.
Finora abbiamo ipotizzato che il campo elettrico fosse uniforme, ma in generale
il campo elettrico può variare su una grande superficie. Pertanto, la definizione di
flusso data dall’Equazione 24.2 ha significato soltanto su un piccolo elemento di area
dove il campo non vari apprezzabilmente. Consideriamo una generica superficie
suddivisa in un gran numero di piccoli elementi, ciascuno di area
D
A
. È conveniente
definire un vettore
D
A
S
i
il cui modulo rappresenta l’area dell’
i
-esimo elemento e
la cui direzione è per definizione
perpendicolare
all’elemento di superficie, come
mostrato in Figura 24.3. Il campo elettrico
E
S
i
nella posizione di questo elemento
di superficie forma un angolo
u
i
con il vettore
D
A
S
i
. Il flusso elettrico
F
E
,i
attraverso
questo piccolo elemento è
¢£
E
E
i
¢
A
i
cos
u
i
E
S
i
¢
A
S
i
dove abbiamo usato la definizione di prodotto scalare fra due vettori (
A
S
·
B
S
K
AB
cos
u
;
si veda il Cap. 7). Sommando i contributi di tutti gli elementi otteniamo il flusso
totale attraverso la superficie:
£
E
a
E
S
i
¢
A
S
i
Se facciamo tendere l’area di ogni elemento a zero, il numero degli elementi tende
all’infinito e la somma è sostituita da un integrale. Quindi, la definizione generale
di flusso elettrico è
£
E
superficie
E
S
d
A
S
(24.3)
L’Equazione 24.3 è un
integrale di superficie,
che deve essere calcolato sulla superficie
scelta. In generale, il valore di
F
E
dipende sia dall’andamento del campo che dalla
superficie.
Siamo spesso interessati a calcolare il flusso attraverso una
superficie chiusa
, definita
come una superficie che divide lo spazio in una regione interna ed una esterna, in
modo che non si possa passare dall’una all’altra senza attraversare la superficie stessa.
La superficie di una sfera, per esempio, è una superficie chiusa. Per convenzione,
A
w
w
›
A
›
Normale
u
u
E
S
Il numero di linee di campo
che attraversano l’area
A
›
è
uguale al numero di linee che
attraversano l’area
A
.
,
Figura 24.2
Linee di campo
che rappresentano un campo elet-
trico uniforme e che attraversano
la superficie di area
A
che forma
un angolo
u
con il campo.
Il campo elettrico forma un angolo
u
i
con il vettore
D
A
i
, definito in
modo da risultare ortogonale
all’elemento di superficie.
u
i
E
i
S
S
D
A
i
S
Figura 24.3
Un piccolo elemento
di area
D
A
i
in un campo elettrico.
Definizione di flusso elettrico
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