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24.2
Legge di Gauss
729
dove abbiamo portato
E
fuori dall’integrale poiché, per simmetria, sulla superficie
è costante e vale
E
5
k
e
q
/
r
2
. Inoltre, dal momento che la superficie è sferica,
r
dA
5
A
5
4
p
r
2
. Quindi, il flusso totale attraverso la superficie gaussiana è
F
E
5
k
e
q
r
2
1
4
p
r
2
2
5
4
p
k
e
q
Ricordando dall’Equazione 23.3 che
k
e
5
1/4
p
P
0
, possiamo scrivere
F
E
5
q
P
0
(24.5)
L’Equazione 24.5 mostra che il flusso totale attraverso la superficie sferica è
proporzionale alla carica
q
interna alla superficie. Il flusso è indipendente dal raggio
r,
in quanto
E
varia come 1
/r
2
, mentre l’area della sfera varia come
r
2
. Quindi, il
prodotto tra l’area e il campo elettrico cancella la dipendenza del flusso da
r
.
Si considerino ora diverse superfici chiuse che circondano una carica
q
, come
in Figura 24.7. La superficie
S
1
è sferica, mentre le superfici
S
2
e
S
3
non lo sono.
Dall’Equazione 24.5 sappiamo che il flusso che attraversa la superficie
S
1
vale
q
/
P
0
. Come abbiamo discusso nel paragrafo precedente, il flusso è proporzionale al
numero totale di linee di campo che attraversano una superficie. La costruzione di
Figura 24.7 mostra che il numero di linee di campo che attraversano la superficie
S
1
è
uguale al numero di linee di campo che attraversano le superfici non sferiche
S
2
e
S
3
.
Quindi,
il flusso totale attraverso una qualunque superficie chiusa che racchiude
una carica puntiforme
q
è uguale a
q
/
P
0
ed è indipendente dalla forma della
superficie.
Si consideri ora una carica puntiforme che si trova
fuori
da una superficie chiusa
di forma arbitraria, come in Figura 24.8. Come si può vedere, ogni linea di campo
che entra nella superficie esce dalla superficie in un altro punto. Il numero di linee
di campo che entrano nella superficie è uguale al numero di linee di campo che ne
escono. Possiamo quindi concludere che il flusso elettrico totale che attraversa una
superficie chiusa che non racchiude nessuna carica è nullo. Se applichiamo questo
risultato all’Esempio 24.1, possiamo vedere che il flusso totale attraverso il cubo è
nullo, poiché all’interno del cubo non è presente nessuna carica.
Estendiamo adesso questi stessi argomenti a due casi più generali: (1) un sistema
di più cariche puntiformi e (2) una distribuzione continua di carica. Faremo
nuovamente uso del principio di sovrapposizione, che afferma che il campo elettrico
generato da più cariche è la somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle
Karl Friedrich Gauss
Matematico ed astronomo tedesco
(1777–1855)
Gauss conseguì il dottorato in
Matematica all’Università di
Helmstedt nel 1799. Oltre al suo
lavoro sull’elettromagnetismo, Gauss
ha dato importanti contributi alla
matematica e alla scienza nell’ambito
della teoria dei numeri, della statistica,
della geometria non euclidea e
della meccanica celeste. È stato un
fondatore della German Magnetic
Union, che studia con continuità il
campo magnetico terrestre.
© Photo Researchers/Alamy
Il flusso elettrico è lo stesso
attraverso tutte le superfici.
1
S
3
S
2
S
1
Figura 24.7
Superfici chiuse di
varie forme che racchiudono una
carica positiva.
Il numero di linee di campo
che entrano nella superficie è
uguale al numero di linee di
campo che ne escono.
q
1
Figura 24.8
Una carica punti-
forme che si trova
all’esterno
di una
superficie chiusa.