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Capitolo
24
Legge di Gauss
S O L U Z I O N E
singole cariche. Possiamo pertanto esprimere il flusso attraverso una qualunque
superficie chiusa come
C
E
S
?
d
A
S
5
C
1
E
S
1
1
E
S
2
1
c
2
?
d
A
S
dove
E
S
, il campo elettrico totale in un qualsiasi punto sulla superficie, è la somma
vettoriale dei campi prodotti in quel punto dalle singole cariche. Si consideri il
sistema di cariche mostrato in Figura 24.9. La superficie
S
circonda una sola carica,
q
1
; quindi il flusso totale attraverso
S
è
q
1
/
P
0
. Il flusso attraverso
S
dovuto alle cariche
esterne
q
2
,
q
3
e
q
4
è nullo, poiché ogni linea di campo entra in un punto di
S
ed esce
da un altro punto di
S
. La superficie
S
9
racchiude le cariche
q
2
e
q
3
, quindi il flusso
totale attraverso
S
9
è (
q
2
1
q
3
)/
P
0
. Infine, il flusso totale attraverso la superficie
S
0
è nullo, poiché non ci sono cariche all’interno di questa superficie, per cui
tutte
le
linee di campo che entrano in
S
0
in un qualche punto ne escono da un altro. La
carica
q
4
non contribuisce al flusso totale attraverso nessuna delle tre superfici.
La
legge di Gauss
, che è una generalizzazione di ciò che abbiamo appena discusso,
afferma che il flusso totale attraverso una
qualsiasi
superficie chiusa è
F
E
5
C
E
S
?
d
A
S
5
q
in
P
0
(24.6)
dove
E
S
è il campo elettrico in ogni punto della superficie e
q
in
è la carica totale
interna alla superficie.
Quando si utilizza l’Equazione 24.6 occorre notare che, sebbene la carica
q
in
sia la
carica totale racchiusa dalla superficie gaussiana, il campo
E
S
che appare nella legge
di Gauss è il
campo elettrico totale
prodotto da tutte le cariche, sia quelle interne che
quelle esterne alla superficie gaussiana.
In linea di principio, la legge di Gauss può essere utilizzata per calcolare il campo
elettrico
E
S
generato
da un sistema qualunque di cariche o da una distribuzione
continua di carica. Però, in pratica, il calcolo è fattibile solo in un numero limitato di
situazioni con un elevato grado di simmetria. Come vedremo nel prossimo paragrafo,
la legge di Gauss può essere usata per calcolare il campo elettrico generato da
distribuzioni di carica che presentano una simmetria sferica, cilindrica o piana. Se
si sceglie opportunamente la superficie gaussiana che circonda la distribuzione di
carica, l’integrale dell’Equazione 24.6 può essere semplificato e si può determinare
il campo elettrico.
Q
uiz
24.2
Se il flusso totale uscente da una superficie gaussiana è
nullo
, le seguenti
affermazioni
possono essere vere
. Quale di esse
deve essere vera
? (
a
) Non ci sono cari-
che all’interno della superficie. (
b
) La carica totale interna alla superficie è zero.
(
c
) Il campo elettrico è nullo in tutti i punti della superficie. (
d
) Il numero di linee
di campo entranti nella superficie è uguale al numero di linee uscenti da essa.
La carica
q
4
non contribuisce al flus-
so attraverso nessuna delle superfici
perché è esterna a ciascuna di esse.
S
S
0
S
9
q
1
1
q
4
1
q
2
q
3
2
2
Prevenire l’errore 24.1
Flusso nullo non significa
campo nullo
In due situazioni c’è un flusso
nullo attraverso una superficie
chiusa: (1) non ci sono parti-
celle cariche all’interno della
superficie; (2) ci sono parti-
celle cariche all’interno della
superficie, ma la carica totale
è nulla. In entrambe le situa-
zioni
non è corretto
dire che il
campo elettrico è nullo sulla
superficie. La legge di Gauss
afferma che il
flusso
elettrico
è proporzionale alla carica
interna alla superficie e non il
campo
elettrico
.
Esempio concettuale
24.2
Flusso dovuto a una carica puntiforme
Una superficie gaussiana sferica ha al suo interno una carica puntiforme
q
. Si descriva cosa accade al flusso totale
attraverso la superficie se (
A
) la carica triplica, (
B
) il raggio della sfera raddoppia, (
C
) la superficie diventa un cubo e
(
D
) la carica viene spostata in una posizione diversa sempre all’interno della superficie.
(A)
Il flusso attraverso la superficie triplica, perché è proporzionale alla carica interna totale.
(B)
Il flusso non cambia, perché tutte le linee di campo elettrico uscenti dalla carica passano attraverso la sfera, indi-
pendentemente dal suo raggio.
(C)
Il flusso non cambia al variare della forma della superficie, perché tutte le linee di campo elettrico uscenti dalla
carica passano attraverso la superficie, indipendentemente dalla sua forma.
(D)
Il flusso non cambia quando la carica viene spostata in un’altra posizione all’interno della superficie, perché la
legge di Gauss si riferisce alla carica totale racchiusa dalla superficie, indipendentemente dalla sua posizione all’in-
terno della superficie.
Figura 24.9
Il flusso elettrico
totale attraverso qualsiasi super-
ficie chiusa dipende solamente
dalla carica contenuta all’interno
della superficie. Il flusso totale
attraverso la superficie
S
è
q
1
/
P
0
,
il flusso totale attraverso la super-
ficie
S
9
è (
q
2
1
q
3
)/
P
0
ed il flusso
totale attraverso la superficie
S
0
è zero.