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Capitolo
24
Legge di Gauss
campo se si dimezza il raggio della sfera? (
a
) Aumentano entrambi. (
b
) Diminu-
iscono entrambi. (
c
) Il flusso aumenta ed il campo diminuisce. (
d
) Il flusso di-
minuisce ed il campo aumenta. (
e
) Il flusso rimane invariato ed il campo au-
menta. (
f
) Il flusso diminuisce ed il campo rimane invariato.
Se la carica si trova al centro della
sfera, il campo risulta ovunque
normale alla superficie e di
modulo costante.
Superficie
gaussiana
sferica
E
S
D
A
i
S
r
q
1
Figura 24.6
Una superficie
gaussiana sferica di raggio
r
che
circonda una carica puntiforme
q
.
y
z
,
,
,
x
d
d
d
d
A
3
S
A
1
S
A
4
S
A
2
S
E
S
v
y
x
Figura 24.5
(Esempio 24.1) Una superficie
chiusa cubica immersa in un campo elettrico uni-
forme parallelo all’asse
x
. La faccia
v
è la base del
cubo, mentre la faccia
y
è opposta alla faccia
x
.
Esempio 24.1
Flusso attraverso un cubo
Si consideri nello spazio vuoto un campo elettrico
E
S
orientato nella di-
rezione positiva dell’asse
x
. Quanto vale il flusso elettrico attraverso una
superficie cubica di spigolo
,
orientata come mostrato in Figura 24.5?
S O L U Z I O N E
Concettualizzare
Si esamini attentamente la Figura 24.5. Si noti che le
linee di campo elettrico attraversano due facce perpendicolarmente e
sono parallele alle altre quattro facce del cubo
.
Classificare
Si calcolerà il flusso a partire dalla definizione, quindi que-
sto è un esempio di problema di sostituzione
.
In primo luogo si noti che il flusso attraverso quattro delle facce è
zero (quelle indicate con
e
v
e quelle senza numero), poiché
E
S
è
parallelo a queste facce e quindi
E
S
è perpendicolare a
d
A
S
.
24.2
Legge di Gauss
In questo paragrafo descriveremo una relazione generale fra il flusso elettrico totale
attraverso una superficie chiusa (spesso chiamata
superficie gaussiana
) e la carica
contenuta all’interno di questa superficie. Questa relazione, nota come
legge di
Gauss
, è di fondamentale importanza nello studio dei campi elettrici.
Consideriamo una carica positiva puntiforme
q
posta al centro di una sfera di
raggio
r
, come mostrato in Figura 24.6. Dall’Equazione 23.9 sappiamo che l’intensità
del campo elettrico ovunque sulla superficie della sfera è
E
5
k
e
q
/
r
2
. Le linee di
campo sono radiali e hanno verso uscente, quindi sono perpendicolari alla superficie
in ogni punto. In ogni punto della superficie
E
S
è perciò parallelo al vettore
D
A
S
i
che
rappresenta l’elemento di area
D
A
i
che racchiude il punto sulla superficie. Pertanto:
e dall’Equazione 24.4 troviamo che il flusso totale attraverso la superficie gaussiana è
E
S
?
D
A
S
i
5
E
D
A
i
F
E
5
C
E
S
?
d
A
S
5
C
E
dA
5
E
C
dA
Si scrivono gli integrali per il calcolo del flusso totale
attraverso le facce indicate con
y
e
x
:
F
E
5
3
1
E
S
?
d
A
S
1
3
2
E
S
?
d
A
S
3
1
E
S
?
d
A
S
5
3
1
E
1
cos 180
8
2
dA
5 2
E
3
1
dA
5 2
EA
5 2
E
,
2
3
2
E
S
?
d
A
S
5
3
2
E
1
cos 0
8
2
dA
5
E
3
2
dA
5 1
EA
5
E
,
2
F
E
5 2
E
,
2
1
E
,
2
1
0
1
0
1
0
1
0
5
0
Sulla faccia
y
,
E
S
è uniforme ed entrante, mentre
d
A
S
1
è
uscente (
u
5
180°), cosicché il flusso attraverso questa
faccia è
Ugualmente, per la faccia
x
,
E
S
è uniforme e uscente,
cioè concorde con
d
A
S
2
(
u
5
0°), cosicché il flusso
attraverso questa faccia è
Il flusso totale attraverso tutte le facce è nullo, in quanto