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8.2 Urto completamente anelastico
209
Soluzione
Dalla conservazione della quantità di moto
m
1
m
1
v
1
= (
m
1
+
m
2
)
v
CM
,
v
CM
= ––––––
v
1
.
m
1
+
m
2
La direzione e il verso del moto dopo l’urto sono gli stessi
del moto di
m
1
prima dell’urto (il problema è unidimensio-
nale). Le energie cinetiche sono:
1
E
k
, in
= ––
m
1
v
2
1
,
2
1
1
m
2
1
E
k
, fin
= –– (
m
1
+
m
2
)
v
2
CM
= –– ––––––
v
2
1
,
2
2
m
1
+
m
2
m
1
m
2
fi D
E
k
=
E
k
, fin
–
E
k
, in
= – –––––––––
v
2
1
,
2(
m
1
+
m
2
)
E
k
, fin
m
1
–––– = –––––– .
E
k
, in
m
1
+
m
2
Se le masse sono eguali si perde metà dell’energia cinetica,
se
m
1
>>
m
2
non si perde praticamente nulla (
v
CM
.
v
1
,
m
1
pro-
segue quasi indisturbata insieme a
m
2
), se
m
1
<<
m
2
si perde pra-
ticamente tutta l’energia cinetica (
v
CM
<<
v
1
).
Nel sistema del centro di massa
m
1
v
1
m
2
v
9
1
=
v
1
–
v
CM
=
v
1
– –––––– = ––––––
v
1
,
m
1
+
m
2
m
1
+
m
2
m
1
v
9
2
= –
v
CM
= – ––––––
v
CM
.
m
1
+
m
2
Entrambi i punti di muovono verso il
CM
(che in ogni
istante sta nella posizione intermedia dell’esempio 4.1) con ve-
locità diverse, ma eguali quantità di moto. L’energia cinetica
nel
CM
è
1
1
1
m
1
m
2
E
9
k
= ––
m
1
v
9
2
1
+ ––
m
2
v
9
2
2
= –– ––––––
v
2
1
= –
D
E
k
,
2
2
2
m
1
+
m
2
in accordo con quanto detto prima.
v
1
v
CM
prima dell’urto
dopo l’urto
m
1
m
2
m
1
+
m
2
Figura 8.7
Si considerino due corpi puntiformi, di massa
m
1
e
m
2
, che
scendono lungo un piano inclinato liscio con velocità
v
1
e
v
2
.
All’istante
t
= 0 la distanza tra i due corpi è
d
e le loro velocità
sono
v
0, 1
e
v
0, 2
con
v
0, 1
>
v
0, 2
, figura 8.8. Si determini la velocità
dopo l’urto, che viene assunto completamente anelastico.
Soluzione
Le velocità dei due corpi sono funzioni del tempo
v
1
=
v
0, 1
+
a
t
,
v
2
=
v
0, 2
+
a
t
con
a
=
g
sen
q
. Il moto relativo è uniforme con velocità
v
1
–
v
2
=
v
0, 1
–
v
0, 2
e quindi l’urto avviene al tempo
t
* =
d
/(
v
0, 1
–
v
0, 2
). Appli-
chiamo la conservazione della quantità di moto durante l’urto:
m
1
v
0, 1
+
m
1
a
t
* +
m
2
v
0, 2
+
m
2
a
t
* = (
m
1
+
m
2
)
v
CM
m
1
v
0, 1
+
m
2
v
0, 2
v
CM
(
t
*) = –––––––––––– +
at
* =
v
CM
(
t
= 0) +
a
t
* .
m
1
+
m
2
Dopo l’urto i due corpi scendono uniti con velocità data da
v
=
v
CM
(
t
*) +
a
(
t
–
t
*) =
v
CM
(
t
= 0) +
a
t
Quindi il centro di massa scende con la stessa legge prima
e dopo l’urto e la sua velocità non subisce discontinuità nel-
l’urto.
Questo è un caso in cui si applica (8.1) pur in presenza
della forza esterna peso, in quanto non impulsiva.
E
SEMPIO
8.3
Urto completamente anelastico tra due corpi che scendono lungo un piano inclinato
v
2
v
1
v
CM
m
1
m
2
q
prima dell’urto
dopo l’urto
m
2
m
1
q
Figura 8.8