13 / 32
Indice
XI
www.
edises
.it
3.3 Rappresentazione dei numeri naturali .................................................................131
3.3.1 I primi modi di rappresentare i numeri naturali .....................................131
3.3.2 Il sistema di numerazione dell’antica Roma ............................................132
3.3.3 Il sistema di numerazione decimale .........................................................133
3.3.4 Il sistema di numerazione binario ............................................................134
3.3.5 Conversioni.................................................................................................135
3.4 L’insieme dei numeri interi...................................................................................136
3.5 I numeri razionali...................................................................................................140
3.5.1 Definizione dell’insieme dei numeri razionali.........................................140
3.5.2 Operazioni nell’insieme dei numeri razionali .........................................141
3.5.3 La relazione d’ordine nell’insieme dei numeri razionali........................142
3.5.4 Scrittura posizionale dei numeri razionali ...............................................143
3.6 Le problematiche che portano alla nascita dei numeri reali ..............................145
3.6.1 La scrittura posizionale..............................................................................145
3.6.2 L’estrazione di radice.................................................................................145
3.6.3 Le grandezze incommensurabili...............................................................145
3.6.4 Le soluzioni di equazioni a coefficienti interi..........................................147
3.6.5 La quadratura del cerchio .........................................................................148
3.7 La costruzione dell’insieme dei numeri reali.......................................................148
3.7.1 Primo approccio: la notazione posizionale ..............................................148
3.7.2 Secondo approccio: i tagli di Dedekind ...................................................148
3.7.3 Terzo approccio: le successioni di numeri razionali................................152
3.8 Numeri irrazionali, numeri algebrici e numeri trascendenti..............................152
3.8.1 I numeri irrazionali....................................................................................152
3.8.2 Numeri che sono zeri di un polinomio: i numeri algebrici ....................153
3.8.3 Numeri che non sono zeri di un polinomio: i numeri trascendenti ......154
3.9 Le strutture algebriche ..........................................................................................155
3.9.1 Definizione di struttura algebrica .............................................................155
3.9.2 Proprietà associativa e semigruppi............................................................155
3.9.3 Esistenza dell’elemento neutro e monoidi...............................................156
3.10 I gruppi ...................................................................................................................157
3.10.1 Esistenza dell’elemento inverso ................................................................157
3.10.2 Definizione di gruppo................................................................................157
3.10.3 Proprietà commutativa e gruppi abeliani.................................................158
3.10.4 Gruppi finiti, infiniti e finitamente generati, insiemi di generatori .......159
3.11 Aritmetica modulare ..............................................................................................160
3.11.1 Congruenza modulo
n
...............................................................................160
3.11.2 Teoremi dell’aritmetica modulare............................................................160
3.11.3 Classi di congruenza modulo
n
e insieme quoziente...............................161
3.11.4 Gruppi definiti mediante la relazione di congruenza .............................162
3.12 Gruppi ciclici ..........................................................................................................164
3.12.1 Caratteristiche di un gruppo ciclico e periodo degli elementi ...............164
3.12.2 Gruppi additivi ...........................................................................................165
3.12.3 Gruppi moltiplicativi..................................................................................165
3.13 Tavole di Cayley......................................................................................................167
3.14 Prodotto di gruppi .................................................................................................168
3.15 I sottogruppi e i laterali destro e sinistro..............................................................169