C A P I T O L O
16
Derivate
delle funzioni
di una variabile
Tasso di crescita e tasso di inazione
Nel linguaggio comune si incontrano spesso espres-
sioni quali: “il tasso di crescita della popolazione
mondiale”, “la velocità di un aereo in un certo istan-
te”, “il tasso di inazione”, che si riferiscono alla va-
riazione di certe grandezze.
Il signicato matematico di tali espressioni risie-
de nel concetto di
derivata
, che ci proponiamo di
introdurre nel presente capitolo.
Per comprendere l’importanza della nozione di
derivata, osserviamo che spesso la conoscenza della
rapidità con la quale una grandezza varia, da punto
a punto o di istante in istante, può essere più utile
della conoscenza del suo stesso valore.
Ad esempio, è più utile sapere che la temperatu-
ra esterna domani aumenterà (o diminuirà) rispet-
to a quella odierna piuttosto che conoscere il valore
della temperatura di domani e non quella di oggi.
Per introdurre in maniera semplice ed intuitiva
il concetto di derivata, descriviamo un esempio trat-
to dalla Meccanica.
Consideriamo una particella che si muove lun-
go l’asse delle
x
durante un certo intervallo di tem-
po
I
. Supponiamo che essa si trovi nel punto
A
, di
ascissa
a
, all’istante
t
=
α
e nel punto
B
, di ascissa
b
, all’istante
t
=
β
, e che sia
α
<
β
.
Conveniamo, inoltre, di misurare le distanze in
cm e il tempo in secondi.
Per ogni istante
t
∊
I
indichiamo con
s
(
t
) l’ascis-
sa della posizione assunta dalla particella sull’asse
x
,
per cui si ha
s
(
α
)
=
a
e
s
(
β
)
=
b
.
Se
t
0
e
t
appartengono all’intervallo
I
e risulta
t
0
<
t
, allora il numero:
s
(
t
)
–
s
(
t
0
)
––––––––––
t
–
t
0
è la
velocità media
della particella nell’intervallo di
tempo [
t
0
,
t
].
Se facciamo tendere
t
a
t
0
, il che corrisponde,
dal punto di vista sico, a calcolare la velocità me-
dia in intervalli di tempo sempre più brevi, il limite:
lim
t
S
t
0
s
(
t
)
–
s
(
t
0
)
–––––––––––
t – t
0
=
s
′
(
t
0
)
rappresenta la
velocità istantanea
della particella al
tempo
t
0
, misurata in cm al secondo.
Per denizione, il numero
s
′
(
t
0
) è la
derivata
della funzione
s
(
t
) nel punto
t
0
.
16.1
Definizione di derivata
Sia
f
una funzione denita in un intervallo [
a, b
] di
R
e sia
x
0
un punto di
[
a, b
]. Per ogni
x
∊
[
a, b
], diverso da
x
0
, consideriamo il rapporto:
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
,
(16.1)
che prende il nome di
rapporto incrementale
della funzione
f
relativo al pun-
to
x
0
.
Tale rapporto varia al variare di
x
, cioè è una funzione della variabile
x
che può essere o meno dotata di limite per
x
che tende a
x
0
.
D!"#$#%#&$! 16.1.
Si dice che la funzione
f
è
derivabile
nel punto
x
0
se
esiste ed è finito
il limite, per
x
che tende a
x
0
, del rapporto incrementale (16.1).
