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CAPITOLO 16
■
Derivate delle funzioni di una variabile
Tale limite si indica con uno dei simboli:
[
D f
(
x
)]
x
=
x
0
,
f
′
(
x
0
) ,
D f
(
x
0
) ,
df
–––
(
x
0
)
dx
e si chiama
derivata
di
f
in
x
0
.
Dunque, se
f
è derivabile in
x
0
, allora la sua derivata
f
′
(
x
0
) è uguale al
limite:
lim
x
S
x
0
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
=
f
′
(
x
0
)
(16.2)
ed è numero reale.
Osservazione 16.1.
Talvolta il rapporto incrementale di una funzione
f
,
relativo al punto
x
0
si denota con il simbolo:
f
(
x
0
+
h
)
–
f
(
x
0
)
–––––––––––––––––
h
avendo posto nella (16.1)
x
–
x
0
=
h
e la derivata
f
′
(
x
0
) si rappresenta nel
modo seguente:
f
′
(
x
0
)
=
lim
h
S
0
f
(
x
0
+
h
)
–
f
(
x
0
)
–––––––––––––––––
h
D 16.2.
Se
f
è una funzione de"nita in [
a, b
] e
x
0
appartie-
ne all’intervallo ]
a
,
b
], si dice che
f
è
derivabile in x
0
da sinistra
, se esiste "ni-
to il limite del rapporto incrementale per
x
che tende a
x
0
da sinistra. Tale
limite si indica con
f
′
–
(
x
0
) e prende il nome di
derivata sinistra di f in x
0
.
Dunque, per de"nizione, si ha:
f
′
–
(
x
0
)
=
lim
x
S
x
0
–
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
Analogamente si de"nisce la
derivata destra
di
f
in un punto
x
0
apparte-
nente all’intervallo [
a
,
b
[, con la posizione:
f
′
+
(
x
0
)
=
lim
x
S
x
0
+
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
Osservazione 16.2.
Se
x
0
è un punto interno all’intervallo [
a, b
], cioè se
risulta
x
0
∊
]
a, b
[ allora
f
è derivabile in
x
0
se e solo se la sua derivata sini-
stra e la sua derivata destra in
x
0
sono numeri reali uguali fra loro e il loro
comune valore coincide con
f
′
(
x
0
):
f derivabile in x
0
3
f
′
–
(
x
0
)
=
f
′
+
(
x
0
)
∊
R.
Un primo risultato sulle funzioni derivabili è il seguente teorema, che
istituisce un legame tra la derivabilità e la continuità di una funzione in un
punto
x
0
.
T!"# 16.1.
Se f
è derivabile in x
0
, allora essa è anche continua in x
0
.
D
IMOSTRAZIONE
. Per ogni
x
diverso da
x
0
si ha:
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
=
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
(
x
–
x
0
),
(16.3)
