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CAPITOLO 16
■
Derivate delle funzioni di una variabile
16.2
Significato geometrico della derivata
Sia
f
una funzione de!nita nell’intervallo [
a, b
] e sia
x
0
e ]
a, b
[.
Disegnamo, in un sistema di assi cartesiani, il gra!co della funzione
f
,
ed indichiamo con
P
il punto di coordinate
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
.
Fissato un punto
x
x
0
, indichiamo con
Q
il punto di coordinate
(
x
,
f
(
x
)
)
(Figura 16.1) e con
s
(
x
) la retta (secante al gra!co) passante per
i punti
P
e
Q
, la cui equazione è:
y
–
f
(
x
0
)
=
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
(
t
–
x
0
)
ove
t
varia in
R
.
▶
Esempio 16.2
▶
Esempio 16.3
Una funzione continua e non derivabile in un punto
x
0
Consideriamo la funzione
f
(
x
)
= %
x
%
e verifichiamo che essa, pur essendo
continua, in quanto:
lim
x
S
x
0
%
x
% = %
x
0
%
per ogni
x
0
∊
R
,
non è tuttavia derivabile in
x
o
=
0. Infatti:
%
x
%
–
%
0
%
––––––––
x
–
0
=
–
x
–
0
––––––
x
–
0
=
–
x
–––
x
= –
1
per
x
<
0
e
%
x
%
–
%
0
%
––––––––
x
–
0
=
x
–
0
–––––
x
–
0
=
x
––
x
=
1
per
x
>
0
Pertanto la derivata sinistra di
f
in 0 è uguale a
–
1:
f
′
–
(0)
=
lim
x
S
0
–
%
x
%
–
%
0
%
––––––––
x
–
0
=
lim
x
S
0
–
–
1
= –
1
e la derivata destra di
f
in 0 è uguale a 1:
f
′
+
(0)
=
lim
x
S
0
+
%
x
% –
%
0
%
––––––––
x
–
0
=
lim
x
S
0
+
1
=
1
cioè:
f
′
–
(0)
f
′
+
(0)
e dunque
f
non è derivabile in 0.
Una funzione con derivata in!nita
Consideriamo la funzione
f
(
x
)
=
√**
x
, che è de!nita nell’intervallo [0,
+∞
[.
Consideriamo il suo rapporto incrementale relativo al punto 0:
√**
x
–
√**
0
––––––––––
x
–
0
=
√**
x
––––
x
=
1
––––
√**
x
∀
x
>
0
ed eseguiamo il limite per
x
n
0 (da destra).
Si ha:
-
D
√**
x
.
x
=
0
=
lim
x
S
0
1
––––
√**
x
= +∞
,
in quanto, per de!nizione di limite, per ogni
k
>
0 esiste
d
=
1
––
k
2
tale che:
0
<
x
<
d
1
1
––––
√**
x
>
k
