16.1
■
Definizione di derivata
297
ed allora, essendo, per ipotesi, nito il limite.
lim
x
S
x
0
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
=
f
′
(
x
0
),
passando al limite per
x
che tende a
x
0
nell’uguaglianza (16.3), abbiamo:
lim
x
S
x
0
[
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
]
=
lim
x
S
x
0
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
lim
x
S
x
0
(
x
–
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
∙
0
=
0
Poiché
f
(
x
0
) non dipende da
x
, la relazione precedente implica:
lim
x
S
x
0
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
=
0,
ossia:
lim
x
S
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
),
per cui
f
è continua in
x
0
.
Osservazione 16.3.
# opportuno mettere in evidenza che, viceversa, una
funzione può essere continua in un punto
x
0
, senza essere ivi derivabile
(vedere il successivo Esempio 16.2).
Se il rapporto incrementale della funzione
f
relativo al punto
x
0
tende a
+∞
(risp. a
–∞
) al tendere di
x
verso
x
0
, allora si dice che
f
ha in
x
0
derivata
in!nita
e che la
derivata D f
(
x
0
) di
f
in
x
0
è
+∞
(risp.
–∞
).
Osservazione 16.4.
Se una funzione
f
è costante nell’intervallo
X
, allora
la sua derivata è nulla:
f
(
x
)
=
c
∀
x
∊
X
1
f
′
(
x
0
)
=
0
∀
x
0
∊
X
Infatti si ha, per ogni
x
)
x
0
:
f
(
x
)
–
f
(
x
0
)
––––––––––––
x
–
x
0
=
c
– c
––––––
x
–
x
0
=
0
▶
Esempio 16.1
Calcoliamo la derivata della funzione:
f
(
x
)
=
x
2
,
nel punto
x
0
=
3.
Il rapporto incrementale di tale funzione, relativo al punto
x
0
=
3 è:
x
2
–
3
2
––––––
=
x
+
3,
x
–
3
e dunque il suo limite per
x
che tende a 3 è uguale a:
lim
x
S
3
x
2
–
3
2
––––––
x
–
3
=
lim
x
S
3
(
x
+
3)
=
6
in quanto la funzione
g
(
x
)
=
x
+
3 è continua e dunque:
lim
x
S
3
g
(
x
)
=
g
(3)
=
6.
