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Prefazione
XV
Un’automobile (Figura 3.11a) percorre 20.0 km
in direzione nord e poi 35.0 km a 60.0°dal Nord
nel quadrante Nord - Ovest. Si trovi il modulo e la
direzione orientata dello spostamento risultante
dell’automobile.
Concettualizzare
I vettori
A
S
e
B
S
del disegno in
Figura 3.11a ci aiutano a concettualizzare il pro-
blema. Anche il vettore risultante
R
S
è stato dise-
gnato. Ci aspettiamo un modulo di qualche deci-
na di chilometri. Ci si aspetta che l’angolo
β
che il
vettore risultante forma con l’asse
y
sia minore di
60.0°, l’angolo che il vettore
B
S
forma con l’asse
y
.
Questo problema appartiene alla categoria dei problemi di somma di vettori. Lo spostamento
R
S
è
il risultante
che si ottiene sommando i due spostamenti
A
S
e
B
S
di triangoli e dobbiamo utilizzare le nostre conoscenze di geometria e di trigonometria.
Analizzare
In questo esempio vengono illustrati due metodi per calcolare il risultante di due vettori. Il problema può
essere risolto geometricamente usando carta millimetrata, goniometro e righello per ricavare il modulo e la direzione
orientata, come mostrato in Figura 3.11a. (Infatti anche quando si deve seguire un calcolo conoscendo cosa fare, si
molto ingrandito. Si provi a usare questi strumenti per
R
S
e si faccia il confronto con il risultato del calcolo trigono-
metrico che segue!
Il secondo metodo è risolvere il problema utilizzando l’algebra e la trigonometria. Il modulo di
R
S
può essere ottenu-
to usando la legge dei coseni applicata al triangolo in Figura 3.11a (Appendice B.4).
Si usa
R
2
5
A
2
1
B
2
2
2
AB
cos
u
dalla legge dei coseni
per trovare R.
Si sostituiscono i valori numerici tenendo
conto che
u
5
180°
2
60°
5
120°
S O L U Z I O N E
y
(km)
40
20
60.0
x
(km)
0
y
(km)
20
x
(km)
0
20
20
40
b
b
u
E
N
S
W
A
S
B
S
R
S
A
S
B
S
R
S
a
b
Figura 3.11
-
mento risultante
R
S
5
A
S
1
B
S
. (b) Se i vettori vengono sommati in ordine
invertito
1
B
S
1
A
S
2
il risultante è ancora
R
S
.
Esempio
3.2
Una gita in vacanza
R
5
"
A
2
1
B
2
2
2
AB
cos
u
R
5
"1
20.0 km
2
2
1
1
35.0 km
2
2
2
2
1
20.0 km
2 1
35.0 km
2
cos 120
8
5
48.2 km
Gli incisi “E se?” sono presenti in circa un terzo degli esempi svolti e presentano una variante della situazione
descritta nel testo dell’esempio. Ad esempio, un tale elemento potrebbe esplorare gli effetti di una variazione delle
condizioni della situazione, determinare cosa accade quando una grandezza viene assunta a un certo valore limite
o chiedere se possano essere determinate informazioni aggiuntive relative alla situazione del problema. Questo
elemento incoraggia gli studenti a ri0ettere sui risultati dell’esempio e assiste nella comprensione concettuale dei
principi.
Ogni soluzione
è stata scritta in
modo da seguire
fedelmente la
Strategia per la
Soluzione dei Pro-
blemi presentata
nel Capitolo 2, in
modo tale da raf-
forzare le buone
abitudini relative
alla risoluzione dei
problemi.
Ciascun passaggio
della soluzione
è presentato in
un formato su
due colonne. La
colonna di sinistra
fornisce una spie-
gazione di ogni
passaggio mate-
matico presente
nella colonna di
destra, in modo da
rinforzare meglio i
concetti 6sici.
Si usa la legge dei seni (Appendice B.4) per trovare la
direzione orientata di
R
S
misurata rispetto alla direzione Nord:
Lo spostamento risultante dell’auto è quindi 48.2 km a 38.9° a Ovest rispetto al Nord.
Concludere
L’angolo
β
appena calcolato è compatibile
con quanto si può stimare osservando la Figura 3.11a o
con l’angolo effettivamente misurato con il metodo gra-
R
S
sia maggiore dei
moduli di
A
S
e di
B
S
? Le unità di misura di
R
S
sono quelle
giuste?
-
fre di due inconvenienti. Per prima cosa molti trovano pe-
sante l’uso delle leggi del seno e del coseno. Inoltre solo
nella somma di due vettori si ottiene un triangolo. Con
tre o più vettori la costruzione geometrica non è più un
triangolo. Un metodo nuovo, privo di questi inconvenien-
ti, verrà illustrato nel Paragrafo 3.4.
Nell’ipotesi che nella gita i due spostamenti fossero stati scambiati e cioè che il primo fosse stato di 35.0 km
a 60.0° dal Nord verso Ovest ed il secondo 20.0 km verso Nord, cosa sarebbe cambiato nel risultato ?
Risposta
Non sarebbe cambiato nulla. La legge di somma di vettori è commutativa per cui l’ordine dei vettori è irrile -
E S E ?
sin
b
B
5
sin
u
R
sin
b 5
B
R
sin
u 5
35.0 km
48.2 km
sin 120
8 5
0.629
b 5
38.9°