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Risposte commentate
1)
A.
La potenza
n
-sima di un binomio è data da:
(
a
+
b
)
n
=
n
k
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a
n
−
k
k
=
0
n
∑
b
k
.
Poiché nello sviluppo di (2
a
2
+3b
3
)
n
è presente il monomio
ka
34
b
39
, allora:
a
34
r
2
a
2
( )
n
−
k
b
39
r
3
b
3
( )
k
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
34
=
2
n
−
2
k
39
r
3
k
⎧
⎨
⎩
,
da cui
= =
k
39
3
13
e, quindi,
n
= 17 +
k
= 17 + 13 = 30.
2)
B.
Riscriviamo la quantità data come:
(
x
4
–
x
2
)
+
(
x
3
–
x
1
)
=
(
x
3
+
x
4
)
–
(
x
1
+
x
2
)
.
Ricordando che la somma delle
n
radici di un polinomio di grado
n
è pari all’oppo-
sto del rapporto tra il coefficiente del termine di grado
n
– 1 ed il coefficiente del
termine di grado
n
, otteniamo:
(
x
3
+
x
4
)
–
(
x
1
+
x
2
)
=
−
−
2
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ − −
−
1
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= 1.
3)
D.
Il limite proposto si presenta nella forma indeterminata
+∞
+∞
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
. Poiché
per
x
:
+
`
la funzione esponenziale con base maggiore di 1 è un infinito di ordine
superiore a qualunque potenza di
x
, allora:
= +∞
→+∞
x
lim
2
.
x
x
2014
4)
A.
Archimede nacque a Siracusa nel 287 a.C. circa e morì nel 212 a.C. nella
stessa città: fu un grande matematico, fisico ed inventore del III secolo a.C., tra i più
grandi della storia. La sua attività spaziò dalla geometria all’idrostatica, dall’ottica
alla meccanica; tra i suoi più importanti risultati vanno ricordati quelli sul galleggia-
mento dei corpi, il calcolo della superficie e del volume della sfera e l’invenzione
delle leve.