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XVIII

Indice

5.10.1 Definizione..................................................................................................364

5.10.2 Interpretazione geometrica.......................................................................365

5.11 Isomorfismo tra gruppi e gruppi isomorfi........................................................... 370

5.12 Anelli...................................................................................................................... 374

5.12.1 Definizione..................................................................................................374

5.12.2 Anello dei polinomi....................................................................................375

5.13 Corpi e campi......................................................................................................... 377

5.13.1 Definizioni...................................................................................................377

5.13.2 Estensione di un campo.............................................................................378

5.13.3 Campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa)...................380

5.14 Teoria di Galois...................................................................................................... 382

5.14.1 L’idea...........................................................................................................382

5.14.2 Gruppo di Galois........................................................................................383

5.14.3 Risolvibilità per radicali di un’equazione di grado

n

...............................385

Capitolo 6

 - Spazi vettoriali e sistemi lineari

6.1 Gli spazi vettoriali.................................................................................................. 387

6.1.1 Definizione di spazio vettoriale. ................................................................387

6.1.2 Sottospazio..................................................................................................390

6.1.3 Combinazione lineare di vettori................................................................391

6.1.4 Dipendenza e indipendenza lineare.........................................................392

6.1.5 Generatori e basi. .......................................................................................393

6.1.6 Dimensione di uno spazio vettoriale.........................................................395

6.2 Applicazioni lineari. .............................................................................................. 396

6.2.1 Definizione di applicazione lineare...........................................................396

6.2.2 Composizione di applicazioni lineari........................................................397

6.2.3 Un esempio di spazio vettoriale: lo spazio vettoriale

delle applicazioni lineari............................................................................397

6.2.4 Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare.....................................398

6.2.5 Particolari applicazioni lineari...................................................................399

6.3 Matrici.................................................................................................................... 400

6.3.1 Definizioni...................................................................................................400

6.3.2 Lo spazio vettoriale delle matrici...............................................................401

6.3.3 Moltiplicazione tra matrici.........................................................................404

6.3.4 Corrispondenza tra matrici ed applicazioni lineari..................................409

6.3.5 Isomorfismo tra matrici e applicazioni lineari..........................................413

6.3.6 Matrici associate ad endorfismi, matrici simili..........................................413

6.3.7 Composizione di applicazioni lineari e matrici........................................414

6.4 Determinanti.......................................................................................................... 414

6.4.1 Definizione e calcolo del determinante di una matrice. .........................414

6.4.2 Proprietà del determinante di una matrice..............................................420

6.4.3 Rango di una matrice.................................................................................423

6.5 Sistemi lineari. ....................................................................................................... 427

6.5.1 Definizione di sistema lineare....................................................................427

6.5.2 Sistemi lineari compatibili.........................................................................428

6.5.3 Soluzioni di sistemi lineari quadrati..........................................................429