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XXIV

Indice

13.2 Integrazione indefinita.......................................................................................... 804

13.2.1 Definizioni...................................................................................................804

13.2.2 Regole di integrazione...............................................................................806

13.2.3 Metodi risolutivi per integrali di frazioni algebriche...............................812

13.3 Integrazione definita............................................................................................. 817

13.3.1 Somma inferiore e somma superiore........................................................817

13.3.2 Dalle somme all’integrale di Riemann......................................................819

13.3.3 Le somme di Cauchy-Riemann..................................................................820

13.3.4 Funzioni integrabili....................................................................................822

13.3.5 Proprietà degli integrali definiti................................................................823

13.3.6 Teoremi sull’integrazione definita............................................................824

13.4 Integrali impropri.................................................................................................. 829

13.4.1 Caso di un intervallo semi-aperto..............................................................829

13.4.2 Caso di un intervallo aperto.......................................................................830

13.4.3 Caso generale: funzione generalmente continua

su un intervallo limitato o illimitato..........................................................831

13.5 Calcolo di volumi di solidi di rotazione............................................................... 832

13.6 Lunghezza di una curva ed area della superficie di rotazione........................... 834

Capitolo 14

 - Serie numeriche, serie di funzioni ed equazioni differenziali

14.1 Serie numeriche. ................................................................................................... 839

14.1.1 Definizioni...................................................................................................839

14.1.2 Serie a termini positivi, a termini di segno alterno

e a termini qualunque................................................................................841

14.1.3 La serie geometrica....................................................................................842

14.1.4 Resto di una serie. ......................................................................................843

14.1.5 Teoremi generali sul carattere delle serie.................................................845

14.2 Criteri di convergenza delle serie a termini positivi............................................ 846

14.2.1 Premessa......................................................................................................846

14.2.2 Criterio del confronto con l’integrale (Cauchy)......................................846

14.2.3 La serie di Dirichlet e la serie armonica. ..................................................847

14.2.4 Criterio del confronto (o di Gauss). .........................................................848

14.2.5 Secondo criterio del confronto.................................................................849

14.2.6 Criterio del rapporto (o di D’Alembert)..................................................850

14.2.7 Criterio della radice (o di Cauchy)...........................................................851

14.3 Criteri di convergenza delle serie a termini alterni e qualunque....................... 852

14.3.1 Criterio di Leibnitz.....................................................................................852

14.3.2 La convergenza assoluta.............................................................................853

14.3.3 Criteri di Cauchy e D’Alembert per serie a termini

a segni alterni o qualunque.......................................................................854

14.4 Sviluppo in serie di funzioni................................................................................. 855

14.4.1 Le serie di funzioni.....................................................................................855

14.4.2 Le serie di potenze.....................................................................................857

14.4.3 La serie di Mac Laurin. ..............................................................................859

14.4.4 Sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari..............861

14.4.5 La formula di Eulero..................................................................................864