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Indice

XXIII

11.6.6 Interpretazione geometrica della derivata................................................722

11.6.7 Retta tangente ad una funzione in un punto...........................................724

11.6.8 Regole di derivazione.................................................................................725

11.6.9 Calcolo di derivate......................................................................................725

11.6.10 Punti di discontinuità della derivata. ........................................................728

11.6.11 Derivate di ordine superiore......................................................................731

11.6.12 Differenziale................................................................................................732

11.7 Calcolo differenziale e studio di una funzione di variabile reale....................... 733

11.7.1 Teorema di Rolle, Cauchy e Lagrange......................................................733

11.7.2 Condizioni sulla monotonia di una funzione...........................................737

11.7.3 Massimi e minimi assoluti di una funzione...............................................738

11.7.4 Estremo inferiore ed estremo superiore...................................................738

11.7.5 Massimo e minimo relativo........................................................................740

11.7.6 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo e assoluto.....................741

11.7.7 Condizioni su concavità e punti di flesso..................................................745

11.7.8 I teoremi di l’Hopital.................................................................................747

11.7.9 Asintoti di una funzione.............................................................................750

11.7.10 Studio del grafico di una funzione............................................................752

Capitolo 12

 - Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

12.1 Funzioni definite in

R

n

e derivate parziali........................................................... 761

12.1.1 Premessa......................................................................................................761

12.1.2 Vettori, direzioni e basi in

R

n

.....................................................................761

12.1.3 Applicazioni lineari e spazio duale............................................................762

12.1.4 Derivata lungo una direzione e derivata parziale.....................................763

12.1.5 Notazioni specifiche per

R

2

e

R

3

e calcolo delle derivate parziali..........764

12.2 Il differenziale e le funzioni differenziabili.......................................................... 765

12.2.1 Funzione differenziabile............................................................................766

12.2.2 La differenziabilità implica la derivabilità.................................................766

12.2.3 Forma esplicita della derivata lungo una direzione.................................767

12.2.4 Gradiente e forma esplicita del differenziale. ..........................................769

12.2.5 La differenziabilità implica la continuità..................................................771

12.2.6 Derivate successive e teorema di Schwartz................................................772

12.2.7 Funzioni di classe C

k

...................................................................................774

12.3 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili........................................ 775

12.3.1 Definizioni...................................................................................................775

12.3.2 Punto stazionario........................................................................................775

12.3.3 Matrice Hessiana.........................................................................................776

12.3.4 Condizioni sui punti di massimo e minimo relativi..................................778

12.3.5 Massimi e minimi vincolati.........................................................................785

Capitolo 13

 - Il problema della misura e il calcolo integrale

13.1 Il problema della misura....................................................................................... 795

13.1.1 Introduzione...............................................................................................795

13.1.2 La misura di Peano-Jordan.........................................................................796

13.1.3 La misura di Vitali-Lebesgue......................................................................802