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Indice

XVII

4.9.4 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica

dei numeri complessi.................................................................................314

4.9.5 Operazioni sui numeri complessi in forma trigonometrica....................315

4.9.6 Teorema fondamentale dell’algebra.........................................................318

4.10 Cardinalità di un insieme...................................................................................... 319

4.10.1 Insiemi equipotenti e numeri cardinali....................................................319

4.10.2 Operazioni tra numeri cardinali................................................................320

4.10.3 Insiemi finiti e insiemi numerabili............................................................321

4.10.4 Insiemi numerici numerabili.....................................................................323

4.10.5 Insiemi numerici non numerabili.............................................................326

4.10.6 L’ipotesi del continuo................................................................................330

Capitolo 5

 - Algebra

5.1 Le strutture algebriche.......................................................................................... 333

5.1.1 Definizione di struttura algebrica..............................................................333

5.1.2 Proprietà associativa e semigruppi............................................................333

5.1.3 Esistenza dell’elemento neutro e monoidi...............................................334

5.2 I gruppi................................................................................................................... 334

5.2.1 Esistenza dell’elemento inverso.................................................................334

5.2.2 Definizione di gruppo................................................................................335

5.2.3 Proprietà commutativa e gruppi abeliani.................................................335

5.2.4 Gruppi finiti, infiniti e finitamente generati, insiemi di generatori. ......336

5.3 Aritmetica modulare. ............................................................................................ 338

5.3.1 Congruenza modulo

n

...............................................................................338

5.3.2 Teoremi dell’aritmetica modulare............................................................338

5.3.3 Classi di congruenza modulo

n

e insieme quoziente...............................339

5.3.4 Gruppi definiti mediante la relazione di congruenza..............................340

5.4 Gruppi ciclici.......................................................................................................... 342

5.4.1 Caratteristiche di un gruppo ciclico e periodo degli elementi. ..............342

5.4.2 Gruppi additivi............................................................................................343

5.4.3 Gruppi moltiplicativi..................................................................................343

5.5 Tavole di Cayley...................................................................................................... 345

5.6 Prodotto di gruppi................................................................................................. 346

5.7 I sottogruppi e i laterali destro e sinistro............................................................. 347

5.7.1 Definizione di sottogruppo........................................................................347

5.7.2 Classi laterali...............................................................................................347

5.7.3 Sottogruppi normali...................................................................................349

5.8 Gruppi risolubili.................................................................................................... 353

5.9 I gruppi simmetrici................................................................................................ 354

5.9.1 Permutazioni...............................................................................................354

5.9.2 Il gruppo simmetrico delle permutazioni.................................................355

5.9.3 Cicli e trasposizioni.....................................................................................356

5.9.4 Le permutazioni pari e il gruppo alterno.................................................360

5.9.5 Risolubilità dei gruppi simmetrici

S

2

,

S

3

e

S

4

............................................361

5.9.6 Il gruppo simmetrico

S

5

.............................................................................363

5.10 Gruppo diedrale.................................................................................................... 364