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XVI

Indice

3.9 Relazioni d’ordine stretto..................................................................................... 273

3.10 Funzioni. ................................................................................................................ 273

3.11 Funzioni suriettive, iniettive e biiettive................................................................. 275

3.12 Funzioni composte................................................................................................ 277

3.13 Funzione inversa e identità................................................................................... 277

Capitolo 4

 - Insiemi numerici

4.1 Leggi di composizione interne ed esterne........................................................... 279

4.2 L’insieme dei numeri naturali.............................................................................. 279

4.2.1 Assiomi di Peano.........................................................................................280

4.2.2 Addizione di naturali..................................................................................281

4.2.3 Moltiplicazione di naturali.........................................................................283

4.2.4 Relazione d’ordine nei naturali.................................................................284

4.2.5 La divisione euclidea..................................................................................285

4.2.6 La potenza...................................................................................................287

4.3 Rappresentazione dei numeri naturali. ............................................................... 287

4.3.1 I primi modi di rappresentare i numeri naturali. ....................................287

4.3.2 Il sistema di numerazione dell’antica Roma.............................................288

4.3.3 Il sistema di numerazione decimale..........................................................289

4.3.4 Il sistema di numerazione binario.............................................................290

4.3.5 Conversioni.................................................................................................291

4.4 L’insieme dei numeri interi.................................................................................. 292

4.5 I numeri razionali.................................................................................................. 296

4.5.1 Definizione dell’insieme dei numeri razionali.........................................296

4.5.2 Operazioni nell’insieme dei numeri razionali..........................................297

4.5.3 La relazione d’ordine nell’insieme dei numeri razionali........................298

4.5.4 Scrittura posizionale dei numeri razionali................................................299

4.6 Le problematiche che portano alla nascita dei numeri reali.............................. 301

4.6.1 La scrittura posizionale..............................................................................301

4.6.2 L’estrazione di radice.................................................................................301

4.6.3 Le grandezze incommensurabili...............................................................301

4.6.4 Le soluzioni di equazioni a coefficienti interi..........................................303

4.6.5 La quadratura del cerchio..........................................................................304

4.7 La costruzione dell’insieme dei numeri reali...................................................... 304

4.7.1 Primo approccio: la notazione posizionale...............................................304

4.7.2 Secondo approccio: i tagli di Dedekind....................................................304

4.7.3 Terzo approccio: le successioni di numeri razionali................................308

4.8 Numeri irrazionali, numeri algebrici e numeri trascendenti............................. 308

4.8.1 I numeri irrazionali....................................................................................308

4.8.2 Numeri che sono zeri di un polinomio: i numeri algebrici.....................309

4.8.3 Numeri che non sono zeri di un polinomio: i numeri

trascendenti. ...............................................................................................310

4.9 Numeri complessi.................................................................................................. 311

4.9.1 I problemi aperti dopo l’estensione ai numeri reali................................311

4.9.2 Costruzione dei numeri complessi............................................................312

4.9.3 Forma algebrica dei numeri complessi.....................................................313